Một bánh mài đang quay với vận tốc 300 vòng/phút thì bị ngắt điện và nó quay chậm dần đều. Sau đó một phút, vận tốc còn 180vòng/phút. Tính gia tốc góc.

Gọi khối lượng của khối cầu lớn là m, thì khối lượng của phần bị khoét là m'. Vì khối lượng phân bố đều nên: (\frac{m'}{m} = \frac{V'}{V} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^3}{R^3} = \frac{(\frac{R}{2})^3}{R^3} = \frac{1}{8}) => (m' = \frac{m}{8}) Mômen quán tính của khối cầu lớn đối với trục OO' là: (I = \frac{2}{5}mR^2) Mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục OO' là: (I' = I_{CM} + m'd^2 = \frac{2}{5}m'r^2 + m'd^2 = \frac{2}{5}.\frac{m}{8}.(\frac{R}{2})^2 + \frac{m}{8}.(\frac{R}{2})^2 = \frac{mR^2}{80} + \frac{mR^2}{32} = \frac{7mR^2}{160}) Mômen quán tính của phần còn lại là: (I_{cl} = I - I' = \frac{2}{5}mR^2 - \frac{7mR^2}{160} = \frac{64mR^2 - 7mR^2}{160} = \frac{57mR^2}{160} = \frac{31}{80}mR^2)

Gọi (\rho) là mật độ khối lượng trên đơn vị diện tích của đĩa. Khối lượng của đĩa ban đầu là (M = \rho \pi R^2). Khối lượng của phần bị khoét là (m' = \rho \pi r^2 = \rho \pi (R/2)^2 = M/4). Do đó, khối lượng của phần còn lại là (m = M - M/4 = 3M/4), suy ra (M = 4m/3). Mômen quán tính của đĩa tròn ban đầu đối với trục quay đi qua tâm O là (I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4m}{3} R^2 = \frac{2}{3}mR^2). Mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục quay đi qua tâm O' là (I' = \frac{1}{2}m'r^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{M}{4} \cdot (R/2)^2 = \frac{1}{32}MR^2 = \frac{1}{32} \cdot \frac{4m}{3} R^2 = \frac{1}{24}mR^2). Áp dụng định lý Steiner, mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục quay đi qua O là (I_O' = I' + m'(OO')^2 = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{M}{4} \cdot (R/2)^2 = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{4} \cdot \frac{4m}{3} \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{12}mR^2 = \frac{1}{8}mR^2). Mômen quán tính của phần còn lại đối với trục quay đi qua O là (I_{cl} = I - I_O' = \frac{2}{3}mR^2 - \frac{1}{8}mR^2 = \frac{16 - 3}{24}mR^2 = \frac{13}{24}mR^2).

Gọi T là lực căng dây, a là gia tốc của vật m. Áp dụng định luật II Newton cho vật m: mg - T = ma (1) Áp dụng phương trình mômen lực cho trụ: TR = Iγ = (1/2)m0R^2 * (a/R) => T = (1/2)m0a (2) Thay (2) vào (1): mg - (1/2)m0a = ma => a = m*g / (m + (1/2)m0) = 110 / (1 + (1/2)*2) = 5 m/s^2

Gọi T là lực căng dây, a là gia tốc của vật m, và α là gia tốc góc của trụ. Áp dụng định luật II Newton cho vật m: m.g - T = m.a Áp dụng phương trình mô men lực cho trụ: T.R = I.α, với I là mô men quán tính của trụ đối với trục quay và R là bán kính của trụ. Vì dây không trượt trên trụ, ta có a = α.R Mô men quán tính của trụ đặc đồng chất là I = (1/2)m₀.R² Thay các phương trình trên vào, ta có: T.R = (1/2)m₀.R². (a/R) => T = (1/2)m₀.a Từ phương trình m.g - T = m.a, ta có T = m.g - m.a Thay T = (1/2)m₀.a vào, ta có m.g - (1/2)m₀.a = m.a => m.g = m.a + (1/2)m₀.a = a(m + (1/2)m₀) => a = m.g / (m + (1/2)m₀) = 1*10 / (1 + (1/2)*2) = 10 / 2 = 5 m/s² => T = (1/2)m₀.a = (1/2)25 = 5 N Vậy lực căng dây là 5N.

Gọi M là mô men hãm, ta có M = -k√ω, với k > 0. Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay: Iγ = M, suy ra I(dω/dt) = -k√ω. Từ đó, dω/√ω = -(k/I)dt. Lấy tích phân hai vế từ thời điểm ban đầu (ω = ω₀, t = 0) đến thời điểm t bất kỳ, ta được: ∫(ω₀→ω) dω/√ω = ∫(0→t) -(k/I)dt => 2√ω |(ω₀→ω) = -(k/I)t |(0→t) => 2(√ω - √ω₀) = -(k/I)t => √ω = √ω₀ - (k/2I)t Khi vô lăng dừng hẳn (ω = 0), ta có thời gian hãm là t_h = (2I√ω₀)/k. Vận tốc góc tức thời là ω = (√ω₀ - (k/2I)t)² Vận tốc góc trung bình được tính bằng: ω_tb = (1/t_h) ∫(0→t_h) ω dt = (1/t_h) ∫(0→t_h) (√ω₀ - (k/2I)t)² dt Đặt x = √ω₀ - (k/2I)t, suy ra dx = -(k/2I)dt => dt = -(2I/k)dx Khi t = 0, x = √ω₀; khi t = t_h, x = 0. Do đó, ω_tb = (1/t_h) ∫(√ω₀→0) x² (-2I/k) dx = (2I/kt_h) ∫(0→√ω₀) x² dx = (2I/kt_h) [x³/3] |(0→√ω₀) = (2I/kt_h) (ω₀√ω₀/3) Thay t_h = (2I√ω₀)/k vào, ta được: ω_tb = (2I/k) * (k/(2I√ω₀)) * (ω₀√ω₀/3) = ω₀/3