Một bánh mài đang quay với vận tốc 300 vòng/phút thì bị ngắt điện và nó quay chậm dần đều. Sau đó một phút, vận tốc còn 180vòng/phút. Tính gia tốc góc.

Gọi khối lượng của khối cầu lớn là m, thì khối lượng của phần bị khoét là m'. Vì khối lượng phân bố đều nên: \(\frac{m'}{m} = \frac{V'}{V} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^3}{R^3} = \frac{(\frac{R}{2})^3}{R^3} = \frac{1}{8}\) => \(m' = \frac{m}{8}\)

Mômen quán tính của khối cầu lớn đối với trục OO' là: \(I = \frac{2}{5}mR^2\)

Mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục OO' là: \(I' = I_{CM} + m'd^2 = \frac{2}{5}m'r^2 + m'd^2 = \frac{2}{5}.\frac{m}{8}.(\frac{R}{2})^2 + \frac{m}{8}.(\frac{R}{2})^2 = \frac{mR^2}{80} + \frac{mR^2}{32} = \frac{7mR^2}{160}\)

Mômen quán tính của phần còn lại là: \(I_{cl} = I - I' = \frac{2}{5}mR^2 - \frac{7mR^2}{160} = \frac{64mR^2 - 7mR^2}{160} = \frac{57mR^2}{160} = \frac{31}{80}mR^2\)

Gọi \(\rho\) là mật độ khối lượng trên đơn vị diện tích của đĩa.
Khối lượng của đĩa ban đầu (khi chưa khoét lỗ) là: \(M = \rho \pi R^2\)
Khối lượng của phần bị khoét là: \(m' = \rho \pi r^2 = \rho \pi (R/2)^2 = \frac{1}{4} \rho \pi R^2 = \frac{1}{4}M\)
Vậy, khối lượng của phần còn lại là: \(m = M - m' = M - \frac{1}{4}M = \frac{3}{4}M \Rightarrow M = \frac{4}{3}m\)
Mômen quán tính của đĩa ban đầu đối với trục quay đi qua O là: \(I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}m.R^2 = \frac{2}{3}mR^2\)
Mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục quay đi qua O' là: \(I' = \frac{1}{2}m'r^2 = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}M.(R/2)^2 = \frac{1}{32}MR^2 = \frac{1}{32}.\frac{4}{3}mR^2 = \frac{1}{24}mR^2\)
Áp dụng định lý Steiner, mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục quay đi qua O là:
\(I_O' = I' + m'(OO')^2 = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{4}M.(R/2)^2 = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{4}.\frac{4}{3}m.\frac{R^2}{4} = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{12}mR^2 = \frac{1}{8}mR^2\)
Mômen quán tính của phần còn lại đối với trục quay đi qua O là:
\(I_{cl} = I - I_O' = \frac{2}{3}mR^2 - \frac{1}{8}mR^2 = \frac{16 - 3}{24}mR^2 = \frac{13}{24}mR^2\)

Gọi T là lực căng dây, a là gia tốc của vật m, và α là gia tốc góc của trụ. Áp dụng định luật II Newton cho vật m: m.g - T = m.a Áp dụng phương trình mô men lực cho trụ: T.R = I.α, với I là mô men quán tính của trụ đối với trục quay và R là bán kính của trụ. Vì dây không trượt trên trụ, ta có a = α.R Mô men quán tính của trụ đặc đồng chất là I = (1/2)m₀.R² Thay các phương trình trên vào, ta có: T.R = (1/2)m₀.R². (a/R) => T = (1/2)m₀.a Từ phương trình m.g - T = m.a, ta có T = m.g - m.a Thay T = (1/2)m₀.a vào, ta có m.g - (1/2)m₀.a = m.a => m.g = m.a + (1/2)m₀.a = a(m + (1/2)m₀) => a = m.g / (m + (1/2)m₀) = 1*10 / (1 + (1/2)*2) = 10 / 2 = 5 m/s² => T = (1/2)m₀.a = (1/2)*2*5 = 5 N

Vậy lực căng dây là 5N.

Ta có phương trình chuyển động của vô lăng:

\(I\gamma = - k\sqrt \omega \Leftrightarrow I\frac{{d\omega }}{{dt}} = - k\sqrt \omega \Leftrightarrow \int_{\omega _0}^0 {\frac{{d\omega }}{{\sqrt \omega }}} = - \frac{k}{I}\int_0^t {dt} \)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {\omega |_{\omega _0}^0} = - \frac{k}{I}t \Leftrightarrow t = \frac{{2I\sqrt {{\omega _0}} }}{k}\)

Vận tốc góc tức thời của vô lăng:

\(\smallint_{\omega _0}^{\omega (t)} {\frac{{d\omega }}{{\sqrt \omega }}} = - \frac{k}{I}\smallint_0^t {dt} \Leftrightarrow 2(\sqrt {\omega (t)} - \sqrt {{\omega _0}} ) = - \frac{k}{I}t \Leftrightarrow \omega (t) = {(\sqrt {{\omega _0}} - \frac{k}{{2I}}t)^2}\)

Vận tốc góc trung bình của vô lăng trong thời gian hãm là:

\({\omega _{tb}} = \frac{{\smallint_0^t {\omega (t)dt} }}{t} = \frac{{\smallint_0^{\frac{{2I\sqrt {{\omega _0}} }}{k}} {{{(\sqrt {{\omega _0}} - \frac{k}{{2I}}t)}^2}dt} }{{\frac{{2I\sqrt {{\omega _0}} }}{k}}} = \frac{{{\omega _0}}}{3}\)