Một dây mảnh, nhẹ, không co giãn, quấn quanh một trụ đặc đồng chất khối lượng m₀ = 2kg. Đầu kia của dây nối với vật m = 1kg (hình 3.14). Bỏ qua ma sát ở trục quay, lấy g = 10m/s². Tính gia tốc của vật.

Gọi T là lực căng dây, a là gia tốc của vật m, và α là gia tốc góc của trụ. Áp dụng định luật II Newton cho vật m: m.g - T = m.a Áp dụng phương trình mô men lực cho trụ: T.R = I.α, với I là mô men quán tính của trụ đối với trục quay và R là bán kính của trụ. Vì dây không trượt trên trụ, ta có a = α.R Mô men quán tính của trụ đặc đồng chất là I = (1/2)m₀.R² Thay các phương trình trên vào, ta có: T.R = (1/2)m₀.R². (a/R) => T = (1/2)m₀.a Từ phương trình m.g - T = m.a, ta có T = m.g - m.a Thay T = (1/2)m₀.a vào, ta có m.g - (1/2)m₀.a = m.a => m.g = m.a + (1/2)m₀.a = a(m + (1/2)m₀) => a = m.g / (m + (1/2)m₀) = 1*10 / (1 + (1/2)*2) = 10 / 2 = 5 m/s² => T = (1/2)m₀.a = (1/2)*2*5 = 5 N

Vậy lực căng dây là 5N.

Ta có phương trình chuyển động của vô lăng:

\(I\gamma = - k\sqrt \omega \Leftrightarrow I\frac{{d\omega }}{{dt}} = - k\sqrt \omega \Leftrightarrow \int_{\omega _0}^0 {\frac{{d\omega }}{{\sqrt \omega }}} = - \frac{k}{I}\int_0^t {dt} \)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {\omega |_{\omega _0}^0} = - \frac{k}{I}t \Leftrightarrow t = \frac{{2I\sqrt {{\omega _0}} }}{k}\)

Vận tốc góc tức thời của vô lăng:

\(\smallint_{\omega _0}^{\omega (t)} {\frac{{d\omega }}{{\sqrt \omega }}} = - \frac{k}{I}\smallint_0^t {dt} \Leftrightarrow 2(\sqrt {\omega (t)} - \sqrt {{\omega _0}} ) = - \frac{k}{I}t \Leftrightarrow \omega (t) = {(\sqrt {{\omega _0}} - \frac{k}{{2I}}t)^2}\)

Vận tốc góc trung bình của vô lăng trong thời gian hãm là:

\({\omega _{tb}} = \frac{{\smallint_0^t {\omega (t)dt} }}{t} = \frac{{\smallint_0^{\frac{{2I\sqrt {{\omega _0}} }}{k}} {{{(\sqrt {{\omega _0}} - \frac{k}{{2I}}t)}^2}dt} }{{\frac{{2I\sqrt {{\omega _0}} }}{k}}} = \frac{{{\omega _0}}}{3}\)

Để xác định vật A đi lên hay đi xuống, ta cần so sánh momen lực tác dụng lên hệ do trọng lực của vật A và vật B gây ra. Momen lực được tính bằng công thức M = rF, trong đó r là bán kính và F là lực tác dụng.

Momen lực do vật A gây ra là M_A = T_AR₁, với T_A là lực căng dây tác dụng lên vô lăng 1. Lực căng T_A gần bằng trọng lực của vật A, tức là T_A ≈ m_Ag.

Momen lực do vật B gây ra là M_B = T_BR₂, với T_B là lực căng dây tác dụng lên vô lăng 2. Tương tự, T_B ≈ m_Bg.

Ta có M_A = m_AgR₁ và M_B = m_BgR₂.

Theo đề bài, R₁ = 2R₂, m_A = 3kg, m_B = 5kg.

Vậy M_A = 3g(2R₂) = 6gR₂ và M_B = 5gR₂.

Vì M_A > M_B, nên vật A sẽ có xu hướng kéo hệ quay theo chiều của nó, tức là vật A đi xuống.

Để tính tốc độ trung bình trên toàn bộ quãng đường, ta cần tính tổng quãng đường và tổng thời gian di chuyển.

Thời gian đi đoạn AB là: t_AB = s_AB / v_AB = 50 km / 20 km/h = 2.5 h

Độ dài đoạn BC là: s_BC = v_BC * t_BC = 80 km/h * 3.5 h = 280 km

Độ dài đoạn CD là: s_CD = 3 * s_AB = 3 * 50 km = 150 km

Thời gian đi đoạn CD là: t_CD = s_CD / v_CD = 150 km / 30 km/h = 5 h

Tổng quãng đường là: s = s_AB + s_BC + s_CD = 50 km + 280 km + 150 km = 480 km

Tổng thời gian (bao gồm cả thời gian nghỉ) là: t = t_AB + t_BC + t_nghỉ + t_CD = 2.5 h + 3.5 h + 50/60 h + 5 h = 2.5 h + 3.5 h + 0.833 h + 5 h = 11.833 h

Tốc độ trung bình là: v_tb = s / t = 480 km / 11.833 h ≈ 40.56 km/h

Trong các đáp án đã cho, đáp án gần đúng nhất là 41.7 km/h.

Đầu tiên, ta tìm vận tốc của chất điểm bằng cách lấy đạo hàm của phương trình chuyển động theo thời gian:

v = x' = 12t - 12t²

Tiếp theo, ta tìm gia tốc của chất điểm bằng cách lấy đạo hàm của vận tốc theo thời gian:

a = v' = 12 - 24t

Chất điểm chuyển động nhanh dần theo chiều dương khi v > 0 và a > 0.

v > 0 <=> 12t - 12t² > 0 <=> t(1 - t) > 0 <=> 0 < t < 1

a > 0 <=> 12 - 24t > 0 <=> t < 0.5

Vậy, chất điểm chuyển động nhanh dần theo chiều dương trong khoảng 0 < t < 0.5.

Để tìm tốc độ cực đại, ta tìm thời điểm mà gia tốc bằng 0:

a = 0 <=> 12 - 24t = 0 <=> t = 0.5 s

Thay t = 0.5 vào phương trình vận tốc:

v_max = 12(0.5) - 12(0.5)² = 6 - 3 = 3 m/s