Một dây mảnh, nhẹ, không co giãn, quấn quanh một trụ đặc đồng chất khối lượng m₀ = 2kg. Đầu kia của dây nối với vật m = 1kg (hình 3.14). Bỏ qua ma sát ở trục quay, lấy g = 10m/s². Tính gia tốc của vật.

Gọi T là lực căng dây, a là gia tốc của vật m, và α là gia tốc góc của trụ. Áp dụng định luật II Newton cho vật m: m.g - T = m.a Áp dụng phương trình mô men lực cho trụ: T.R = I.α, với I là mô men quán tính của trụ đối với trục quay và R là bán kính của trụ. Vì dây không trượt trên trụ, ta có a = α.R Mô men quán tính của trụ đặc đồng chất là I = (1/2)m₀.R² Thay các phương trình trên vào, ta có: T.R = (1/2)m₀.R². (a/R) => T = (1/2)m₀.a Từ phương trình m.g - T = m.a, ta có T = m.g - m.a Thay T = (1/2)m₀.a vào, ta có m.g - (1/2)m₀.a = m.a => m.g = m.a + (1/2)m₀.a = a(m + (1/2)m₀) => a = m.g / (m + (1/2)m₀) = 1*10 / (1 + (1/2)*2) = 10 / 2 = 5 m/s² => T = (1/2)m₀.a = (1/2)25 = 5 N Vậy lực căng dây là 5N.

Gọi M là mô men hãm, ta có M = -k√ω, với k > 0. Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay: Iγ = M, suy ra I(dω/dt) = -k√ω. Từ đó, dω/√ω = -(k/I)dt. Lấy tích phân hai vế từ thời điểm ban đầu (ω = ω₀, t = 0) đến thời điểm t bất kỳ, ta được: ∫(ω₀→ω) dω/√ω = ∫(0→t) -(k/I)dt => 2√ω |(ω₀→ω) = -(k/I)t |(0→t) => 2(√ω - √ω₀) = -(k/I)t => √ω = √ω₀ - (k/2I)t Khi vô lăng dừng hẳn (ω = 0), ta có thời gian hãm là t_h = (2I√ω₀)/k. Vận tốc góc tức thời là ω = (√ω₀ - (k/2I)t)² Vận tốc góc trung bình được tính bằng: ω_tb = (1/t_h) ∫(0→t_h) ω dt = (1/t_h) ∫(0→t_h) (√ω₀ - (k/2I)t)² dt Đặt x = √ω₀ - (k/2I)t, suy ra dx = -(k/2I)dt => dt = -(2I/k)dx Khi t = 0, x = √ω₀; khi t = t_h, x = 0. Do đó, ω_tb = (1/t_h) ∫(√ω₀→0) x² (-2I/k) dx = (2I/kt_h) ∫(0→√ω₀) x² dx = (2I/kt_h) [x³/3] |(0→√ω₀) = (2I/kt_h) (ω₀√ω₀/3) Thay t_h = (2I√ω₀)/k vào, ta được: ω_tb = (2I/k) * (k/(2I√ω₀)) * (ω₀√ω₀/3) = ω₀/3

Để xác định vật A đi lên, đi xuống hay đứng yên, ta cần so sánh moment lực tác dụng lên hệ từ hai vật A và B. Moment quán tính của vô lăng 1 là I1 = (1/2)m1R1^2 và của vô lăng 2 là I2 = (1/2)m2R2^2. Vì R1 = 2R2, ta đặt R2 = R thì R1 = 2R. Ta có tỉ số R1/R2 = 2/1. Gọi a là gia tốc của vật A và vật B. Ta có a = α1R1 = α2R2, với α1 và α2 là gia tốc góc của vô lăng 1 và 2.

Moment lực do vật A tạo ra là M_A = m_AgR_1. Moment lực do vật B tạo ra là M_B = m_BgR_2. Ta so sánh hai moment lực này.

M_A = 3g2R = 6gR M_B = 5gR = 5gR

Vì M_A > M_B nên vật A có xu hướng kéo hệ quay theo chiều làm cho nó đi xuống, tức là vật A đi xuống.

Để tính tốc độ trung bình trên toàn bộ quãng đường, ta cần tính tổng quãng đường và tổng thời gian di chuyển.

Thời gian đi đoạn AB là: t_AB = s_AB / v_AB = 50 km / 20 km/h = 2.5 h

Độ dài đoạn BC là: s_BC = v_BC * t_BC = 80 km/h * 3.5 h = 280 km

Độ dài đoạn CD là: s_CD = 3 * s_AB = 3 * 50 km = 150 km

Thời gian đi đoạn CD là: t_CD = s_CD / v_CD = 150 km / 30 km/h = 5 h

Tổng quãng đường là: s = s_AB + s_BC + s_CD = 50 km + 280 km + 150 km = 480 km

Tổng thời gian (bao gồm cả thời gian nghỉ) là: t = t_AB + t_BC + t_nghỉ + t_CD = 2.5 h + 3.5 h + 50/60 h + 5 h = 2.5 h + 3.5 h + 0.833 h + 5 h = 11.833 h

Tốc độ trung bình là: v_tb = s / t = 480 km / 11.833 h ≈ 40.56 km/h

Trong các đáp án đã cho, đáp án gần đúng nhất là 41.7 km/h.

Đầu tiên, ta tìm vận tốc của chất điểm bằng cách lấy đạo hàm của phương trình chuyển động theo thời gian:

v = x' = 12t - 12t²

Tiếp theo, ta tìm gia tốc của chất điểm bằng cách lấy đạo hàm của vận tốc theo thời gian:

a = v' = 12 - 24t

Chất điểm chuyển động nhanh dần theo chiều dương khi v > 0 và a > 0.

v > 0 <=> 12t - 12t² > 0 <=> t(1 - t) > 0 <=> 0 < t < 1

a > 0 <=> 12 - 24t > 0 <=> t < 0.5

Vậy, chất điểm chuyển động nhanh dần theo chiều dương trong khoảng 0 < t < 0.5.

Để tìm tốc độ cực đại, ta tìm thời điểm mà gia tốc bằng 0:

a = 0 <=> 12 - 24t = 0 <=> t = 0.5 s

Thay t = 0.5 vào phương trình vận tốc:

v_max = 12(0.5) - 12(0.5)² = 6 - 3 = 3 m/s