Một toa xe chở đầy cát đang đứng trên đường ray nằm ngang. Toàn bộ toa xe có khối lượng 0,5 tấn. Một cục đá khối lượng 5 kg bay với vận tốc v = 100 m/s từ phiá sau, đến cắm vào cát theo hướng hợp với phương ngang một góc α = 36^o. Tính vận tốc của toa xe ngay sau đó.

Động lượng của chất điểm được bảo toàn khi không có lực tác dụng lên chất điểm, hoặc khi hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng không. Điều này tương ứng với việc vận tốc của chất điểm không đổi.

Nhìn vào đồ thị, ta thấy vận tốc của chất điểm không đổi (là một đường thẳng nằm ngang) trong khoảng thời gian từ t = 5s đến t = 7s. Do đó, trong khoảng thời gian này, động lượng của chất điểm được bảo toàn.

Gọi khối lượng của đĩa tròn lớn là M và khối lượng của phần bị khoét là m. Ta có: (M = \pi {R^2}\sigma ) và (m = \pi {r^2}\sigma ), trong đó (\sigma) là mật độ khối lượng trên một đơn vị diện tích. Khối tâm của phần còn lại nằm trên đường nối O và O', và ta có thể sử dụng nguyên tắc momen để tìm vị trí của nó. Gọi G là khối tâm của phần còn lại, và x là khoảng cách từ O đến G. Khi đó: ((M - m)x = md) (\Rightarrow x = \frac{{md}}{{M - m}} = \frac{{\pi {r^2}\sigma d}}{{\pi {R^2}\sigma - \pi {r^2}\sigma }} = \frac{{{r^2}d}}{{{R^2} - {r^2}}}) Vậy, khối tâm G của phần còn lại cách tâm O một khoảng (x = \frac{{{r^2}d}}{{{R^2} - {r^2}}}).

Khối tâm của hình nón đồng chất nằm trên trục của hình nón, cách đáy một khoảng bằng 1/4 chiều cao của hình nón. Trong trường hợp này, chiều cao của hình nón là 12cm, vậy khối tâm cách đáy một khoảng là 12cm / 4 = 3cm.

Đổi vận tốc góc ban đầu: (\omega_0 = 300) vòng/phút = (10\pi ) rad/s. Đổi vận tốc góc lúc sau: (\omega = 180) vòng/phút = (3\pi ) rad/s. Thời gian: t = 1 phút = 60s. Áp dụng công thức: (\omega = \omega_0 + \gamma t) (trong đó (\gamma) là gia tốc góc). Suy ra: (\gamma = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{3\pi - 10\pi}{60} = - \frac{7\pi}{60} \approx -\frac{\pi}{8.57} ) (rad/s^2). Tuy nhiên, không có đáp án nào gần với kết quả này. Xem xét lại đề bài, có lẽ có sự nhầm lẫn ở đâu đó.

Để ý rằng, nếu vận tốc lúc sau là (3\pi), ta có: (3\pi = 10\pi + \gamma.60). Vậy (\gamma = \frac{-7\pi}{60}). Đáp án gần nhất có lẽ là (- \frac{\pi}{15}).

Tuy nhiên, hãy thử một cách khác. Nếu vận tốc sau 1 phút là 180 vòng/phút, tức là 3 vòng/s. Vận tốc ban đầu là 300 vòng/phút, tức là 5 vòng/s. Vậy độ giảm vận tốc là 2 vòng/s sau 60s. Suy ra độ giảm vận tốc là 1/30 vòng/s^2. Để chuyển sang rad/s^2, ta nhân với (2\pi), vậy độ giảm là (\frac{\pi}{15}). Do đó, gia tốc góc là (- \frac{\pi}{15}) rad/s^2.

Gọi khối lượng của khối cầu lớn là m, thì khối lượng của phần bị khoét là m'. Vì khối lượng phân bố đều nên: (\frac{m'}{m} = \frac{V'}{V} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^3}{R^3} = \frac{(\frac{R}{2})^3}{R^3} = \frac{1}{8}) => (m' = \frac{m}{8}) Mômen quán tính của khối cầu lớn đối với trục OO' là: (I = \frac{2}{5}mR^2) Mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục OO' là: (I' = I_{CM} + m'd^2 = \frac{2}{5}m'r^2 + m'd^2 = \frac{2}{5}.\frac{m}{8}.(\frac{R}{2})^2 + \frac{m}{8}.(\frac{R}{2})^2 = \frac{mR^2}{80} + \frac{mR^2}{32} = \frac{7mR^2}{160}) Mômen quán tính của phần còn lại là: (I_{cl} = I - I' = \frac{2}{5}mR^2 - \frac{7mR^2}{160} = \frac{64mR^2 - 7mR^2}{160} = \frac{57mR^2}{160} = \frac{31}{80}mR^2)