Chất điểm chuyển động với đồ thị vận tốc như hình 2.40. Trong khoảng thời gian nào, động lượng của chất điểm được bảo toàn?

Gọi \(\rho\) là mật độ khối lượng của đĩa. Khối lượng của đĩa tròn lớn là: \(m_1 = \rho \pi R^2\) Khối lượng của phần bị khoét là: \(m_2 = \rho \pi r^2\)

Gọi G là khối tâm của phần còn lại của đĩa.

Ta có: \(\overrightarrow{OG} = \frac{m_1 \overrightarrow{OO_1} + m_2 \overrightarrow{OO_2}}{m_1 + m_2}\)

Vì khối tâm G nằm trên đường thẳng nối O và O', ngoài đoạn OO' nên ta có: \(OG = x\), \(OO' = d\) \(\overrightarrow{OG} = -\frac{m_2}{m_1 - m_2} \overrightarrow{OO'}\) \(x = \frac{m_2 d}{m_1 - m_2} = \frac{\rho \pi r^2 d}{\rho \pi R^2 - \rho \pi r^2} = \frac{r^2 d}{R^2 - r^2}\)

Đổi vận tốc góc ban đầu và vận tốc góc lúc sau ra rad/s:

\(\omega_0 = 300\frac{vong}{phut}= 10\pi \,\,(rad/s)\)

\(\omega = 180\frac{vong}{phut}= 6\pi \,\,(rad/s)\)

Gia tốc góc được tính bằng công thức: \(\gamma = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{6\pi - 10\pi}{60} = - \frac{\pi}{15} rad/s^2\)

Gọi khối lượng của khối cầu lớn là m, thì khối lượng của phần bị khoét là m'. Vì khối lượng phân bố đều nên: \(\frac{m'}{m} = \frac{V'}{V} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^3}{R^3} = \frac{(\frac{R}{2})^3}{R^3} = \frac{1}{8}\) => \(m' = \frac{m}{8}\)

Mômen quán tính của khối cầu lớn đối với trục OO' là: \(I = \frac{2}{5}mR^2\)

Mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục OO' là: \(I' = I_{CM} + m'd^2 = \frac{2}{5}m'r^2 + m'd^2 = \frac{2}{5}.\frac{m}{8}.(\frac{R}{2})^2 + \frac{m}{8}.(\frac{R}{2})^2 = \frac{mR^2}{80} + \frac{mR^2}{32} = \frac{7mR^2}{160}\)

Mômen quán tính của phần còn lại là: \(I_{cl} = I - I' = \frac{2}{5}mR^2 - \frac{7mR^2}{160} = \frac{64mR^2 - 7mR^2}{160} = \frac{57mR^2}{160} = \frac{31}{80}mR^2\)

Gọi \(\rho\) là mật độ khối lượng trên đơn vị diện tích của đĩa.
Khối lượng của đĩa ban đầu (khi chưa khoét lỗ) là: \(M = \rho \pi R^2\)
Khối lượng của phần bị khoét là: \(m' = \rho \pi r^2 = \rho \pi (R/2)^2 = \frac{1}{4} \rho \pi R^2 = \frac{1}{4}M\)
Vậy, khối lượng của phần còn lại là: \(m = M - m' = M - \frac{1}{4}M = \frac{3}{4}M \Rightarrow M = \frac{4}{3}m\)
Mômen quán tính của đĩa ban đầu đối với trục quay đi qua O là: \(I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}m.R^2 = \frac{2}{3}mR^2\)
Mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục quay đi qua O' là: \(I' = \frac{1}{2}m'r^2 = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}M.(R/2)^2 = \frac{1}{32}MR^2 = \frac{1}{32}.\frac{4}{3}mR^2 = \frac{1}{24}mR^2\)
Áp dụng định lý Steiner, mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục quay đi qua O là:
\(I_O' = I' + m'(OO')^2 = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{4}M.(R/2)^2 = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{4}.\frac{4}{3}m.\frac{R^2}{4} = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{12}mR^2 = \frac{1}{8}mR^2\)
Mômen quán tính của phần còn lại đối với trục quay đi qua O là:
\(I_{cl} = I - I_O' = \frac{2}{3}mR^2 - \frac{1}{8}mR^2 = \frac{16 - 3}{24}mR^2 = \frac{13}{24}mR^2\)