Điều tra mức thu nhập cá nhân trong một tháng (triệu đồng), ta có bảng số liệu mẫu sau:

Thu nhập	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7
Số người	10	8	5	7	3	2

Thu nhập trung bình là bao nhiêu?

Để tìm hằng số k, ta sử dụng tính chất của hàm mật độ xác suất: tích phân của hàm mật độ trên toàn miền xác định phải bằng 1.

Trong trường hợp này, ta có:

\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1\)

Vì f(x) = 0 khi x không thuộc [0, 1], ta có thể viết lại tích phân như sau:

\(\int_{0}^{1} kx^2(1-x) dx = 1\)

Tính tích phân:

\(\int_{0}^{1} (kx^2 - kx^3) dx = k \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) dx = k \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = k \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = k \left( \frac{4-3}{12} \right) = \frac{k}{12}\)

Vậy, \(\frac{k}{12} = 1\), suy ra k = 12.

Vậy hằng số k bằng 12.

Vì bạn Chi luôn ngồi chính giữa nên ta cố định vị trí của Chi. Khi đó còn lại 4 vị trí cho 4 bạn An, Bình, Dũng, Lệ. Số cách sắp xếp 4 bạn này vào 4 vị trí là 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 cách. Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là 24.

Đây là bài toán về chỉnh hợp. Ta cần chọn 4 người từ 6 người và sắp xếp họ vào 4 vị trí khác nhau. Số cách thực hiện là chỉnh hợp chập 4 của 6, ký hiệu là A(6,4) hoặc 6P4.

Công thức tính chỉnh hợp chập k của n là: A(n,k) = n! / (n-k)!

Trong trường hợp này, A(6,4) = 6! / (6-4)! = 6! / 2! = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 6 * 5 * 4 * 3 = 360.

Vậy có 360 cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài.

Đây là bài toán về chỉnh hợp. Vì thứ tự mắc các bóng đèn là quan trọng nên ta sử dụng chỉnh hợp.
Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là: A(4, 6) = 6! / (6-4)! = 6! / 2! = 6 * 5 * 4 * 3 = 360 cách.

Để chọn 5 viên bi có đủ 3 màu từ hộp có 6 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng, ta có các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: 2 xanh, 2 đỏ, 1 vàng. Số cách chọn là C(6,2) * C(5,2) * C(4,1) = 15 * 10 * 4 = 600
* Trường hợp 2: 2 xanh, 1 đỏ, 2 vàng. Số cách chọn là C(6,2) * C(5,1) * C(4,2) = 15 * 5 * 6 = 450
* Trường hợp 3: 1 xanh, 2 đỏ, 2 vàng. Số cách chọn là C(6,1) * C(5,2) * C(4,2) = 6 * 10 * 6 = 360
* Trường hợp 4: 3 xanh, 1 đỏ, 1 vàng. Số cách chọn là C(6,3) * C(5,1) * C(4,1) = 20 * 5 * 4 = 400
* Trường hợp 5: 1 xanh, 3 đỏ, 1 vàng. Số cách chọn là C(6,1) * C(5,3) * C(4,1) = 6 * 10 * 4 = 240
* Trường hợp 6: 1 xanh, 1 đỏ, 3 vàng. Số cách chọn là C(6,1) * C(5,1) * C(4,3) = 6 * 5 * 4 = 120

Vậy, tổng số cách chọn là 600 + 450 + 360 + 400 + 240 + 120 = 2170.
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án.
Ta tính lại bằng cách dùng tổng số cách chọn 5 viên bi trừ đi các trường hợp không thỏa mãn (chỉ có 1 hoặc 2 màu):
* Tổng số cách chọn 5 viên bi bất kỳ là C(15,5) = 3003
* Các trường hợp không thỏa mãn:
* Chỉ có bi xanh và đỏ: C(11,5) - C(6,5) - C(5,5) = 462 - 6 - 1 = 455
* Chỉ có bi xanh và vàng: C(10,5) - C(6,5) - C(4,5) = 252 - 6 - 0 = 246
* Chỉ có bi đỏ và vàng: C(9,5) - C(5,5) - C(4,5) = 126 - 1 - 0 = 125
* Chỉ có bi xanh: C(6,5) = 6
* Chỉ có bi đỏ: C(5,5) = 1
* Chỉ có bi vàng: C(4,5) = 0
* Các trường hợp chỉ có 2 màu đã bị trừ lặp, nên cần cộng lại:
* 2 xanh 3 đỏ: C(6,2)*C(5,3) = 150
* 3 xanh 2 đỏ: C(6,3)*C(5,2) = 200
* 2 xanh 3 vàng: C(6,2)*C(4,3) = 60
* 3 xanh 2 vàng: C(6,3)*C(4,2) = 120
* 2 đỏ 3 vàng: C(5,2)*C(4,3) = 40
* 3 đỏ 2 vàng: C(5,3)*C(4,2) = 60
Số cách chọn = 3003 - (455 + 246 + 125 + 6 + 1 + 0) + (150 + 200 + 60 + 120 + 40 + 60) = 3003 - 833 + 630 = 2800 (sai)

Xét đáp án C. 3003 là C(15,5), số cách chọn 5 viên từ 15 viên mà không quan tâm đến màu sắc. Vì đề bài yêu cầu có đủ 3 màu nên đáp án này sai.

Xét đáp án A. 2163. Không có cách tính nào đơn giản để ra được số này.

Xét đáp án B. 3843. Không có cách tính nào đơn giản để ra được số này.

Xét đáp án D. 840. Đáp án này không đúng.

Trong các đáp án trên, không có đáp án nào đúng. Số cách chọn phải là 2170, tuy nhiên không có đáp án nào gần đúng. Có lẽ đề bài bị sai. Dù vậy, đáp án C có vẻ liên quan nhất vì nó tính tổng số cách chọn 5 viên bi từ 15 viên, nhưng không thoả mãn điều kiện có đủ 3 màu.