Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (X, Y) có bảng phân phối xác suất.E(Y) =?

Để điều tra sự hài lòng của sinh viên về hoạt động của Thư viện Trường, đám đông cần xác định là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Đề bài yêu cầu xác định "đám đông" cần điều tra để biết được sự hài lòng của sinh viên về thư viện trường. Đám đông ở đây chính là toàn bộ sinh viên trong trường, vì tất cả sinh viên đều có thể sử dụng thư viện và có ý kiến về nó. Các đáp án khác chỉ giới hạn ở một nhóm sinh viên nhất định, không đại diện cho toàn bộ sinh viên sử dụng thư viện.
* Đáp án 1: Chỉ những sinh viên *thường* đến thư viện. Những sinh viên ít đến hoặc không đến thư viện cũng có thể có ý kiến (ví dụ: giờ mở cửa không phù hợp, thiếu tài liệu).
* Đáp án 2: Chỉ sinh viên khoa Công nghệ Thực phẩm, không đại diện cho các khoa khác.
* Đáp án 4: Chỉ sinh viên hệ chính quy, bỏ qua các hệ khác (liên thông, vừa học vừa làm, cao học,...).

Câu 43:

Lớp A có 41 sinh viên và lớp B có 31 sinh viên. Kết quả thi môn xác suất của 2 lớp là gần giống hau, lớp A có độ lệch chuẩn là 12, lớp B có độ lệch chuẩn là 9. Có ý kiến cho rằng lớp B đồng đều hơn lớp A về điểm thi môn này. Ta dùng bài toán kiểm định nào để kết luận với mức ý nghĩa 5%

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Đề bài yêu cầu so sánh độ đồng đều (tính biến động) của điểm thi giữa hai lớp, mà độ đồng đều được đo bằng độ lệch chuẩn (hoặc phương sai). Vì vậy, ta cần kiểm định giả thuyết về phương sai của hai quần thể (trong trường hợp này là hai lớp). Các phương án khác không phù hợp: kiểm định về kỳ vọng dùng để so sánh trung bình, kiểm định về sự bằng nhau của xác suất không liên quan đến độ đồng đều của điểm thi.

Câu 44:

Tìm kích thước mẫu tối thiểu phải điều tra thêm để xác định chiều cao trung bình sinh viên trong trường với độ tin cậy 5% và độ chính xác không quá 1cm, biết rằng điều tra 100 sinh viên của năm trước thì độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 7,4cm.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm kích thước mẫu tối thiểu cần thiết, ta sử dụng công thức tính kích thước mẫu cho ước lượng trung bình của tổng thể khi biết độ lệch chuẩn của tổng thể (hoặc ước lượng từ mẫu trước đó):

Công thức:

n = (Z * σ / E)^2

Trong đó:
- n là kích thước mẫu tối thiểu cần tìm.
- Z là giá trị Z tương ứng với độ tin cậy mong muốn (5%). Vì độ tin cậy là 95% (1 - 5%), mức ý nghĩa α = 0.05, nên giá trị Z tương ứng với α/2 = 0.025 là 1.96.
- σ là độ lệch chuẩn của tổng thể (ước lượng từ mẫu trước đó), ở đây là 7.4 cm.
- E là sai số cho phép (độ chính xác), ở đây là 1 cm.

Thay các giá trị vào công thức:

n = (1.96 * 7.4 / 1)^2
n = (14.504)^2
n = 210.366

Vì kích thước mẫu phải là một số nguyên, ta làm tròn lên số nguyên gần nhất. Vậy, n = 211.

Vậy, kích thước mẫu tối thiểu phải điều tra thêm là 211 sinh viên.

Câu 45:

Tỉ lệ thanh niên đã tốt nghiệp THPT của quận A là 75%. Trong đợt tuyển quân đi nghĩa vụ quân sự năm nay, quận A đã gọi ngẫu nhiên 325 thanh niên. Tính xác suất để có từ 80 đến 84 thanh niên bị loại do chưa tốt nghiệp THPT?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi X là số thanh niên bị loại do chưa tốt nghiệp THPT trong 325 thanh niên được gọi. Vì mỗi thanh niên có xác suất bị loại là 1 - 0.75 = 0.25 và việc gọi mỗi thanh niên là độc lập, X tuân theo phân phối nhị thức B(325, 0.25). Ta cần tính P(80 ≤ X ≤ 84). Ta có thể sử dụng công thức tính xác suất cho phân phối nhị thức, hoặc sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn.

Trong trường hợp này, ta sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn vì n khá lớn (n=325).

Trung bình: μ = n*p = 325 * 0.25 = 81.25

Độ lệch chuẩn: σ = √(n*p*(1-p)) = √(325 * 0.25 * 0.75) ≈ 7.80

Ta cần tính P(80 ≤ X ≤ 84). Sử dụng hiệu chỉnh liên tục, ta tính P(79.5 ≤ X ≤ 84.5).

Z1 = (79.5 - 81.25) / 7.80 ≈ -0.22

Z2 = (84.5 - 81.25) / 7.80 ≈ 0.42

P(79.5 ≤ X ≤ 84.5) = P(-0.22 ≤ Z ≤ 0.42) = P(Z ≤ 0.42) - P(Z ≤ -0.22)

Tra bảng phân phối chuẩn tắc, ta có:

P(Z ≤ 0.42) ≈ 0.6628

P(Z ≤ -0.22) ≈ 0.4129

P(-0.22 ≤ Z ≤ 0.42) ≈ 0.6628 - 0.4129 = 0.2499 ≈ 24.99%

Giá trị này gần nhất với 26.32%, do đó ta chọn đáp án này. Tuy nhiên do làm tròn, giá trị này có thể khác một chút so với tính toán trực tiếp từ phân phối nhị thức.

Câu 46:

Trong một đợt xổ số người ta phát hành 100.000 vé trong đó có 10.000 vé trúng thưởng. Hỏi 1 người muốn trúng ít nhất 1 vé với xác suất lớn hơn 95% thì cần phải mua tối thiểu bao nhiêu vé?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Let $n$ be the number of tickets to buy. The probability of not winning any ticket when buying $n$ tickets is:

$P(\text{no winning}) = \frac{C_{90000}^n}{C_{100000}^n} = \frac{90000}{100000} \cdot \frac{89999}{99999} \cdot ... \cdot \frac{90000-n+1}{100000-n+1}$

To have the probability of winning at least 1 ticket greater than 95%, the probability of not winning any ticket must be less than 5%, i.e.

$P(\text{no winning}) < 0.05$

We can approximate:

$P(\text{no winning}) = (1 - \frac{10000}{100000})^n = (0.9)^n$

So we need to find $n$ such that:

$(0.9)^n < 0.05$

Taking the natural logarithm of both sides:

$n \cdot ln(0.9) < ln(0.05)$

$n > \frac{ln(0.05)}{ln(0.9)} \approx 28.43$

Thus, the minimum number of tickets to buy is 29 tickets.

Check by calculating the exact probability:

For n = 28:
$P(\text{no winning}) = \frac{C_{90000}^{28}}{C_{100000}^{28}} \approx 0.052 > 0.05$

For n = 29:
$P(\text{no winning}) = \frac{C_{90000}^{29}}{C_{100000}^{29}} \approx 0.047 < 0.05$

So we need to buy at least 29 tickets.

Câu 47:

Theo thống kê trung bình cứ 1.000 người dân ở độ tuổi 40 thì sau 1 năm có 996 người còn sống. Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm 1 năm cho những người ở độ tuổi này với giá 1,5 triệu đồng, nếu người mua bảo hiểm chết thì số tiền bồi thường là 300 triệu đồng. Giả sử công ty bán được 40.000 hợp đồng bảo hiểm loại này (mỗi hợp đồng ứng với 1 người mua bảo hiểm) trong 1 năm. Hỏi trong 1 năm lợi nhuận trung bình thu được của công ty về loại bảo hiểm này là bao nhiêu?

Lời giải: