Tìm kích thước mẫu tối thiểu phải điều tra thêm để xác định chiều cao trung bình sinh viên trong trường với độ tin cậy 5% và độ chính xác không quá 1cm, biết rằng điều tra 100 sinh viên của năm trước thì độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 7,4cm.

Câu 45:

Tỉ lệ thanh niên đã tốt nghiệp THPT của quận A là 75%. Trong đợt tuyển quân đi nghĩa vụ quân sự năm nay, quận A đã gọi ngẫu nhiên 325 thanh niên. Tính xác suất để có từ 80 đến 84 thanh niên bị loại do chưa tốt nghiệp THPT?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi X là số thanh niên bị loại do chưa tốt nghiệp THPT trong 325 thanh niên được gọi. Vì mỗi thanh niên có xác suất bị loại là 1 - 0.75 = 0.25 và việc gọi mỗi thanh niên là độc lập, X tuân theo phân phối nhị thức B(325, 0.25). Ta cần tính P(80 ≤ X ≤ 84). Ta có thể sử dụng công thức tính xác suất cho phân phối nhị thức, hoặc sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn.

Trong trường hợp này, ta sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn vì n khá lớn (n=325).

Trung bình: μ = n*p = 325 * 0.25 = 81.25

Độ lệch chuẩn: σ = √(n*p*(1-p)) = √(325 * 0.25 * 0.75) ≈ 7.80

Ta cần tính P(80 ≤ X ≤ 84). Sử dụng hiệu chỉnh liên tục, ta tính P(79.5 ≤ X ≤ 84.5).

Z1 = (79.5 - 81.25) / 7.80 ≈ -0.22

Z2 = (84.5 - 81.25) / 7.80 ≈ 0.42

P(79.5 ≤ X ≤ 84.5) = P(-0.22 ≤ Z ≤ 0.42) = P(Z ≤ 0.42) - P(Z ≤ -0.22)

Tra bảng phân phối chuẩn tắc, ta có:

P(Z ≤ 0.42) ≈ 0.6628

P(Z ≤ -0.22) ≈ 0.4129

P(-0.22 ≤ Z ≤ 0.42) ≈ 0.6628 - 0.4129 = 0.2499 ≈ 24.99%

Giá trị này gần nhất với 26.32%, do đó ta chọn đáp án này. Tuy nhiên do làm tròn, giá trị này có thể khác một chút so với tính toán trực tiếp từ phân phối nhị thức.

Câu 46:

Trong một đợt xổ số người ta phát hành 100.000 vé trong đó có 10.000 vé trúng thưởng. Hỏi 1 người muốn trúng ít nhất 1 vé với xác suất lớn hơn 95% thì cần phải mua tối thiểu bao nhiêu vé?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Let $n$ be the number of tickets to buy. The probability of not winning any ticket when buying $n$ tickets is:

$P(\text{no winning}) = \frac{C_{90000}^n}{C_{100000}^n} = \frac{90000}{100000} \cdot \frac{89999}{99999} \cdot ... \cdot \frac{90000-n+1}{100000-n+1}$

To have the probability of winning at least 1 ticket greater than 95%, the probability of not winning any ticket must be less than 5%, i.e.

$P(\text{no winning}) < 0.05$

We can approximate:

$P(\text{no winning}) = (1 - \frac{10000}{100000})^n = (0.9)^n$

So we need to find $n$ such that:

$(0.9)^n < 0.05$

Taking the natural logarithm of both sides:

$n \cdot ln(0.9) < ln(0.05)$

$n > \frac{ln(0.05)}{ln(0.9)} \approx 28.43$

Thus, the minimum number of tickets to buy is 29 tickets.

Check by calculating the exact probability:

For n = 28:
$P(\text{no winning}) = \frac{C_{90000}^{28}}{C_{100000}^{28}} \approx 0.052 > 0.05$

For n = 29:
$P(\text{no winning}) = \frac{C_{90000}^{29}}{C_{100000}^{29}} \approx 0.047 < 0.05$

So we need to buy at least 29 tickets.

Câu 47:

Theo thống kê trung bình cứ 1.000 người dân ở độ tuổi 40 thì sau 1 năm có 996 người còn sống. Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm 1 năm cho những người ở độ tuổi này với giá 1,5 triệu đồng, nếu người mua bảo hiểm chết thì số tiền bồi thường là 300 triệu đồng. Giả sử công ty bán được 40.000 hợp đồng bảo hiểm loại này (mỗi hợp đồng ứng với 1 người mua bảo hiểm) trong 1 năm. Hỏi trong 1 năm lợi nhuận trung bình thu được của công ty về loại bảo hiểm này là bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Số người chết trong 40.000 người là: 40000 * (1000 - 996) / 1000 = 160 người.
Tổng số tiền công ty phải trả cho việc bồi thường là: 160 * 300 triệu = 48 tỉ đồng.
Tổng số tiền công ty thu được từ bán bảo hiểm là: 40000 * 1,5 triệu = 60 tỉ đồng.
Lợi nhuận trung bình của công ty là: 60 tỉ - 48 tỉ = 12 tỉ đồng.

Câu 48:

Một hộp đựng 10 quả cầu gồm: 2 quả màu đỏ, 3 quả vàng và 5 quả xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó ra 4 quả cầu. Xác suất chọn được 2 quả màu xanh là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Số cách chọn 4 quả cầu từ 10 quả là: C(10, 4) = 210.
Số cách chọn 2 quả màu xanh từ 5 quả màu xanh là: C(5, 2) = 10.
Số cách chọn 2 quả còn lại từ 5 quả không phải màu xanh (2 đỏ, 3 vàng) là: C(5, 2) = 10.
Vậy số cách chọn 4 quả trong đó có 2 quả màu xanh là: C(5, 2) * C(5, 2) = 10 * 10 = 100.
Xác suất cần tìm là: P = 100 / 210 = 10/21 ≈ 0.4762.

Câu 49:

Khảo sát về thu nhập của một số người làm việc ở một công ty, người ta thu được số liệu sau (đơn vị: triệu đồng/năm)

120; 140; 80; 100; 160; 110; 120; 140; 130; 170; 130; 160; 120; 100; 130; 140; 150; 140; 140; 130; 130;

Với độ tin cậy 95%, độ chính xác khi ước lượng thu nhập trung bình của công ty là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính độ chính xác khi ước lượng thu nhập trung bình của công ty với độ tin cậy 95%, chúng ta cần sử dụng công thức khoảng tin cậy cho trung bình mẫu khi độ lệch chuẩn của tổng thể chưa biết. Các bước thực hiện như sau:

1. Tính trung bình mẫu (x̄):
x̄ = (120 + 140 + 80 + 100 + 160 + 110 + 120 + 140 + 130 + 170 + 130 + 160 + 120 + 100 + 130 + 140 + 150 + 140 + 140 + 130 + 130) / 21 = 132.38 triệu đồng/năm

2. Tính độ lệch chuẩn mẫu (s):
Để tính độ lệch chuẩn mẫu, ta cần tính tổng bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với trung bình mẫu, sau đó chia cho (n-1) và lấy căn bậc hai. Sau khi tính toán, ta được s ≈ 22.86 triệu đồng/năm.

3. Xác định giá trị t-critical (tα/2):
Với độ tin cậy 95% và bậc tự do (df) = n - 1 = 21 - 1 = 20, ta tìm giá trị tα/2 từ bảng phân phối t. Giá trị tα/2 tương ứng là khoảng 2.086.

4. Tính sai số biên (E):
E = tα/2 * (s / √n) = 2.086 * (22.86 / √21) ≈ 10.36 triệu đồng/năm.

Vì kết quả tính toán sai số biên là 10.36 triệu đồng/năm và không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn, có thể có sai số làm tròn trong quá trình tính toán hoặc các đáp án được đưa ra không chính xác. Tuy nhiên, đáp án gần nhất với kết quả tính toán là 9,813 triệu đồng/năm (đáp án 3).

Câu 50:

Để điều tra sự hài lòng của sinh viên về các môn Toán ứng dụng trong Trường, mẫu cần lấy trong tập hợp các sinh viên đang học.

Lời giải: