Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài?

Đây là bài toán về chỉnh hợp. Vì thứ tự mắc các bóng đèn là quan trọng nên ta sử dụng chỉnh hợp.
Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là: A(4, 6) = 6! / (6-4)! = 6! / 2! = 6 * 5 * 4 * 3 = 360 cách.

Để chọn 5 viên bi có đủ 3 màu từ hộp có 6 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng, ta có các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: 2 xanh, 2 đỏ, 1 vàng. Số cách chọn là C(6,2) * C(5,2) * C(4,1) = 15 * 10 * 4 = 600
* Trường hợp 2: 2 xanh, 1 đỏ, 2 vàng. Số cách chọn là C(6,2) * C(5,1) * C(4,2) = 15 * 5 * 6 = 450
* Trường hợp 3: 1 xanh, 2 đỏ, 2 vàng. Số cách chọn là C(6,1) * C(5,2) * C(4,2) = 6 * 10 * 6 = 360
* Trường hợp 4: 3 xanh, 1 đỏ, 1 vàng. Số cách chọn là C(6,3) * C(5,1) * C(4,1) = 20 * 5 * 4 = 400
* Trường hợp 5: 1 xanh, 3 đỏ, 1 vàng. Số cách chọn là C(6,1) * C(5,3) * C(4,1) = 6 * 10 * 4 = 240
* Trường hợp 6: 1 xanh, 1 đỏ, 3 vàng. Số cách chọn là C(6,1) * C(5,1) * C(4,3) = 6 * 5 * 4 = 120

Vậy, tổng số cách chọn là 600 + 450 + 360 + 400 + 240 + 120 = 2170.
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án.
Ta tính lại bằng cách dùng tổng số cách chọn 5 viên bi trừ đi các trường hợp không thỏa mãn (chỉ có 1 hoặc 2 màu):
* Tổng số cách chọn 5 viên bi bất kỳ là C(15,5) = 3003
* Các trường hợp không thỏa mãn:
* Chỉ có bi xanh và đỏ: C(11,5) - C(6,5) - C(5,5) = 462 - 6 - 1 = 455
* Chỉ có bi xanh và vàng: C(10,5) - C(6,5) - C(4,5) = 252 - 6 - 0 = 246
* Chỉ có bi đỏ và vàng: C(9,5) - C(5,5) - C(4,5) = 126 - 1 - 0 = 125
* Chỉ có bi xanh: C(6,5) = 6
* Chỉ có bi đỏ: C(5,5) = 1
* Chỉ có bi vàng: C(4,5) = 0
* Các trường hợp chỉ có 2 màu đã bị trừ lặp, nên cần cộng lại:
* 2 xanh 3 đỏ: C(6,2)*C(5,3) = 150
* 3 xanh 2 đỏ: C(6,3)*C(5,2) = 200
* 2 xanh 3 vàng: C(6,2)*C(4,3) = 60
* 3 xanh 2 vàng: C(6,3)*C(4,2) = 120
* 2 đỏ 3 vàng: C(5,2)*C(4,3) = 40
* 3 đỏ 2 vàng: C(5,3)*C(4,2) = 60
Số cách chọn = 3003 - (455 + 246 + 125 + 6 + 1 + 0) + (150 + 200 + 60 + 120 + 40 + 60) = 3003 - 833 + 630 = 2800 (sai)

Xét đáp án C. 3003 là C(15,5), số cách chọn 5 viên từ 15 viên mà không quan tâm đến màu sắc. Vì đề bài yêu cầu có đủ 3 màu nên đáp án này sai.

Xét đáp án A. 2163. Không có cách tính nào đơn giản để ra được số này.

Xét đáp án B. 3843. Không có cách tính nào đơn giản để ra được số này.

Xét đáp án D. 840. Đáp án này không đúng.

Trong các đáp án trên, không có đáp án nào đúng. Số cách chọn phải là 2170, tuy nhiên không có đáp án nào gần đúng. Có lẽ đề bài bị sai. Dù vậy, đáp án C có vẻ liên quan nhất vì nó tính tổng số cách chọn 5 viên bi từ 15 viên, nhưng không thoả mãn điều kiện có đủ 3 màu.

Gọi số học sinh khối 10, 11, 12 được chọn lần lượt là x, y, z. Theo đề bài, ta có x + y + z = 10 và x, y, z >= 1 (do có học sinh cả ba khối). Ta cần tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình này thỏa mãn x <= 2.

Trường hợp 1: x = 1. Khi đó y + z = 9. Vì y, z >= 1 và mỗi khối có tối đa 5 học sinh nên 1 <= y <= 5 và 4 <= z <= 5 (do y <= 5 nên z = 9 - y >= 4, z<= 5). Vậy y có thể nhận các giá trị 4, 5. Suy ra các cặp (y, z) là (4, 5) và (5, 4).
Số cách chọn: C(5,1) * C(5,4) * C(5,5) + C(5,1) * C(5,5) * C(5,4) = 5 * 5 * 1 + 5 * 1 * 5 = 25 + 25 = 50

Trường hợp 2: x = 2. Khi đó y + z = 8. Vì y, z >= 1 và mỗi khối có tối đa 5 học sinh nên 3 <= y <= 5 và 3 <= z <= 5. Vậy y có thể nhận các giá trị 3, 4, 5. Suy ra các cặp (y, z) là (3, 5), (4, 4) và (5, 3).
Số cách chọn: C(5,2) * C(5,3) * C(5,5) + C(5,2) * C(5,4) * C(5,4) + C(5,2) * C(5,5) * C(5,3) = 10 * 10 * 1 + 10 * 5 * 5 + 10 * 1 * 10 = 100 + 250 + 100 = 450

Tổng số cách lập đội tuyển là 50 + 450 = 500.

Trong bài toán kiểm định phương sai của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, khi kỳ vọng \(\mu\) đã biết, thống kê kiểm định được sử dụng là \(\chi^2\). Công thức \({\chi ^2} = \frac{{n{S^{*2}}}}{{\sigma _0^2}}\) dùng để kiểm định giả thuyết về phương sai, trong đó \(n\) là kích thước mẫu, \(S^{*2}\) là ước lượng không chệch của phương sai mẫu, và \(\sigma_0^2\) là giá trị phương sai được giả định trong giả thuyết không \(H_0\). Các lựa chọn khác không phù hợp trong trường hợp này.

Ta có khai triển (2x - x^2)^{10} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {2x} \right)}^{10 - k}}{{\left( { - {x^2}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{2^{10 - k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{10 - k}}{x^{2k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{2^{10 - k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{10 + k}}} .\\
Số hạng chứa x^{12} ứng với 10 + k = 12 \Leftrightarrow k = 2.\\
Vậy hệ số của x^{12} là C_{10}^2\cdot 2^{10 - 2}\cdot (-1)^2 = C_{10}^2 \cdot 2^8.