Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ cho bởi \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} k{x^2}\left( {1 - x} \right),0 \le x \le 1\\ 0,x \notin \left[ {0;1} \right] \end{array} \right.\)

Hằng số k bằng?

Vì bạn Chi luôn ngồi chính giữa nên ta cố định vị trí của Chi.

Khi đó còn lại 4 vị trí cho 4 bạn An, Bình, Dũng, Lệ.

Số cách sắp xếp 4 bạn này vào 4 vị trí là 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 cách.

Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là 24.

Đây là bài toán về chỉnh hợp. Ta cần chọn 4 người từ 6 người và sắp xếp họ vào 4 vị trí khác nhau. Số cách thực hiện là chỉnh hợp chập 4 của 6, ký hiệu là A(6,4) hoặc 6P4.

Công thức tính chỉnh hợp chập k của n là: A(n,k) = n! / (n-k)!

Trong trường hợp này, A(6,4) = 6! / (6-4)! = 6! / 2! = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 6 * 5 * 4 * 3 = 360.

Vậy có 360 cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài.

Đây là bài toán về chỉnh hợp. Vì thứ tự mắc các bóng đèn là quan trọng nên ta sử dụng chỉnh hợp.
Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là: A(4, 6) = 6! / (6-4)! = 6! / 2! = 6 * 5 * 4 * 3 = 360 cách.

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp đếm bằng cách xét các trường hợp có thể xảy ra khi chọn 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu (xanh, đỏ, vàng).

Tổng số bi là 6 (xanh) + 5 (đỏ) + 4 (vàng) = 15 viên.

Ta sẽ xét các trường hợp sau:

1. 2 xanh, 2 đỏ, 1 vàng:
- Số cách chọn 2 bi xanh từ 6 bi xanh: C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
- Số cách chọn 2 bi đỏ từ 5 bi đỏ: C(5, 2) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10
- Số cách chọn 1 bi vàng từ 4 bi vàng: C(4, 1) = 4! / (1! * 3!) = 4
- Tổng số cách chọn cho trường hợp này: 15 * 10 * 4 = 600

2. 2 xanh, 1 đỏ, 2 vàng:
- Số cách chọn 2 bi xanh từ 6 bi xanh: C(6, 2) = 15
- Số cách chọn 1 bi đỏ từ 5 bi đỏ: C(5, 1) = 5
- Số cách chọn 2 bi vàng từ 4 bi vàng: C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6
- Tổng số cách chọn cho trường hợp này: 15 * 5 * 6 = 450

3. 1 xanh, 2 đỏ, 2 vàng:
- Số cách chọn 1 bi xanh từ 6 bi xanh: C(6, 1) = 6
- Số cách chọn 2 bi đỏ từ 5 bi đỏ: C(5, 2) = 10
- Số cách chọn 2 bi vàng từ 4 bi vàng: C(4, 2) = 6
- Tổng số cách chọn cho trường hợp này: 6 * 10 * 6 = 360

4. 3 xanh, 1 đỏ, 1 vàng:
- Số cách chọn 3 bi xanh từ 6 bi xanh: C(6, 3) = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20
- Số cách chọn 1 bi đỏ từ 5 bi đỏ: C(5, 1) = 5
- Số cách chọn 1 bi vàng từ 4 bi vàng: C(4, 1) = 4
- Tổng số cách chọn cho trường hợp này: 20 * 5 * 4 = 400

5. 1 xanh, 3 đỏ, 1 vàng:
- Số cách chọn 1 bi xanh từ 6 bi xanh: C(6, 1) = 6
- Số cách chọn 3 bi đỏ từ 5 bi đỏ: C(5, 3) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10
- Số cách chọn 1 bi vàng từ 4 bi vàng: C(4, 1) = 4
- Tổng số cách chọn cho trường hợp này: 6 * 10 * 4 = 240

6. 1 xanh, 1 đỏ, 3 vàng:
- Số cách chọn 1 bi xanh từ 6 bi xanh: C(6, 1) = 6
- Số cách chọn 1 bi đỏ từ 5 bi đỏ: C(5, 1) = 5
- Số cách chọn 3 bi vàng từ 4 bi vàng: C(4, 3) = 4! / (3! * 1!) = 4
- Tổng số cách chọn cho trường hợp này: 6 * 5 * 4 = 120

Tổng số cách chọn là: 600 + 450 + 360 + 400 + 240 + 120 = 2170

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp với kết quả tính toán. Có thể có sai sót trong quá trình tính toán hoặc các đáp án đưa ra không chính xác. Xem xét lại các trường hợp và tính toán cẩn thận hơn để đảm bảo không bỏ sót trường hợp nào.

Tính lại:
1. (2x, 2đ, 1v): 15 * 10 * 4 = 600
2. (2x, 1đ, 2v): 15 * 5 * 6 = 450
3. (1x, 2đ, 2v): 6 * 10 * 6 = 360
4. (3x, 1đ, 1v): 20 * 5 * 4 = 400
5. (1x, 3đ, 1v): 6 * 10 * 4 = 240
6. (1x, 1đ, 3v): 6 * 5 * 4 = 120

Tổng: 600 + 450 + 360 + 400 + 240 + 120 = 2170

Nếu ta bỏ qua trường hợp có 3 xanh, 2 đỏ hoặc 3 đỏ, 2 xanh hoặc 3 vàng...

Tổng số cách chọn 5 viên bi bất kỳ từ 15 viên là C(15, 5) = 15! / (5! * 10!) = (15*14*13*12*11) / (5*4*3*2*1) = 3003

Số cách chọn 5 viên bi chỉ có xanh và đỏ (không có vàng): C(11, 5) = 11! / (5! * 6!) = (11*10*9*8*7) / (5*4*3*2*1) = 462
Số cách chọn 5 viên bi chỉ có xanh và vàng (không có đỏ): C(10, 5) = 10! / (5! * 5!) = (10*9*8*7*6) / (5*4*3*2*1) = 252
Số cách chọn 5 viên bi chỉ có đỏ và vàng (không có xanh): C(9, 5) = 9! / (5! * 4!) = (9*8*7*6) / (4*3*2*1) = 126
Số cách chọn 5 viên bi chỉ có xanh: C(6,5) = 6
Số cách chọn 5 viên bi chỉ có đỏ: C(5,5) = 1
Số cách chọn 5 viên bi chỉ có vàng: C(4,5) = 0

Số cách chọn có ít nhất 1 viên mỗi màu = 3003 - 462 - 252 - 126 + 6 + 1 + 0 = 2170

Vậy đáp án gần đúng nhất là 2163.