Có 3 hộp, mỗi hộp đựng 5 viên bi, trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi trắng; hộp thứ ba có 3 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Nếu trong 3 bi lấy ra có 1 bi trắng. Thì xác suất để viên bi trắng đó là của hộp thứ nhất.

Câu 25:

Có hai kiện hàng, kiện thứ nhất có 8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A; kiện thứ hai có 6 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại A. Lần đầu lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau đó từ kiện thứ hai lấy ra 2 sản phẩm (lấy không hoàn lại). Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ hai. Thì kỳ vọng, phương sai của X là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi A là biến cố lấy được sản phẩm loại A từ kiện thứ nhất.
Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ hai.

Ta có P(A) = 3/8, P(không A) = 5/8.

E(X) = E(X|A) * P(A) + E(X|không A) * P(không A)

Nếu lấy được sản phẩm loại A từ kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, thì kiện thứ hai có 7 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A.
Khi đó E(X|A) = 2 * (3/7) = 6/7.

Nếu lấy được sản phẩm không phải loại A từ kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, thì kiện thứ hai có 7 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại A.
Khi đó E(X|không A) = 2 * (2/7) = 4/7.

Vậy E(X) = (6/7) * (3/8) + (4/7) * (5/8) = 18/56 + 20/56 = 38/56 = 19/28.

Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Tính E(X^2):

Nếu lấy được sản phẩm loại A từ kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, thì kiện thứ hai có 7 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A.
P(X=0|A) = (4/7)*(3/6) = 12/42
P(X=1|A) = (3/7)*(4/6) + (4/7)*(3/6) = 24/42
P(X=2|A) = (3/7)*(2/6) = 6/42
E(X^2|A) = 0^2 * (12/42) + 1^2 * (24/42) + 2^2 * (6/42) = 24/42 + 24/42 = 48/42

Nếu lấy được sản phẩm không phải loại A từ kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, thì kiện thứ hai có 7 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại A.
P(X=0|không A) = (5/7)*(4/6) = 20/42
P(X=1|không A) = (2/7)*(5/6) + (5/7)*(2/6) = 20/42
P(X=2|không A) = (2/7)*(1/6) = 2/42
E(X^2|không A) = 0^2 * (20/42) + 1^2 * (20/42) + 2^2 * (2/42) = 20/42 + 8/42 = 28/42

E(X^2) = E(X^2|A) * P(A) + E(X^2|không A) * P(không A) = (48/42)*(3/8) + (28/42)*(5/8) = (144/336) + (140/336) = 284/336 = 71/84

Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 71/84 - (19/28)^2 = 71/84 - 361/784 = (5992 - 3068)/65872 = (5992-3068)/65872 = 2924/65872=905/2352
Vậy E(X) = 19/28 và Var(X) = 905/2352.

Câu 26:

Một cửa hàng bán một loại sản phẩm trong đó 40% do phân xưởng 1 sản xuất, còn lại do phân xưởng 2 sản xuất. Tỷ lệ sản phẩm A do phân xưởng 1 và 2 sản xuất tương ứng là 0,8; 0,9. Mua ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ cửa hàng và thấy đó không phải sản phẩm loại A. Hỏi sản phẩm đó có khả năng do phân xưởng nào sản xuất nhiều hơn.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi X1 là biến cố sản phẩm do phân xưởng 1 sản xuất, X2 là biến cố sản phẩm do phân xưởng 2 sản xuất. Gọi A là biến cố sản phẩm là loại A. B là biến cố sản phẩm không phải loại A.
Ta có: P(X1) = 0.4, P(X2) = 0.6
P(A|X1) = 0.8, P(A|X2) = 0.9
P(B|X1) = 1 - P(A|X1) = 0.2
P(B|X2) = 1 - P(A|X2) = 0.1
Ta cần tìm P(X1|B) và P(X2|B)
P(X1|B) = [P(B|X1) * P(X1)] / [P(B|X1) * P(X1) + P(B|X2) * P(X2)] = (0.2 * 0.4) / (0.2 * 0.4 + 0.1 * 0.6) = 0.08 / (0.08 + 0.06) = 0.08 / 0.14 = 4/7 ≈ 0.57
P(X2|B) = [P(B|X2) * P(X2)] / [P(B|X1) * P(X1) + P(B|X2) * P(X2)] = (0.1 * 0.6) / (0.2 * 0.4 + 0.1 * 0.6) = 0.06 / (0.08 + 0.06) = 0.06 / 0.14 = 3/7 ≈ 0.43
Vì P(X1|B) > P(X2|B) nên khả năng sản phẩm do phân xưởng 1 sản xuất nhiều hơn.

Câu 27:

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X cho bởi: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2{e^{ - 2x}},x \ge 0\\ 0,x > 0 \end{array} \right.\)

\(E\left[ {{X^3}} \right] = ?\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính E[X³], ta sử dụng công thức tính kỳ vọng của hàm một biến ngẫu nhiên liên tục:

\(E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) dx\)

Trong trường hợp này, g(X) = X³ và f(x) là hàm mật độ đã cho.

Vì f(x) = 0 khi x < 0, ta chỉ cần tính tích phân từ 0 đến ∞:

\(E[X^3] = \int_{0}^{\infty} x^3 (2e^{-2x}) dx = 2 \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-2x} dx\)

Để tính tích phân này, ta có thể sử dụng tích phân từng phần hoặc nhận ra nó là dạng của hàm Gamma.

Sử dụng hàm Gamma, ta có:

\(\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax} dx = \frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} = \frac{n!}{a^{n+1}}\)

Trong trường hợp của chúng ta, n = 3 và a = 2. Vậy:

\(\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-2x} dx = \frac{3!}{2^{3+1}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\)

Do đó:

\(E[X^3] = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{4}\)

Vậy, E[X³] = 3/4.

Câu 28:

Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách chọn bộ '' quần-áo-cà vạt'' khác nhau?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Đây là một bài toán về quy tắc nhân trong tổ hợp.
- Số cách chọn quần: 4
- Số cách chọn áo: 6
- Số cách chọn cà vạt: 3
Vậy số cách chọn một bộ quần-áo-cà vạt là: 4 * 6 * 3 = 72 cách.

Câu 29:

Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong năm món, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một nước uống trong ba loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Người đó có 5 cách chọn món ăn, 5 cách chọn quả tráng miệng và 3 cách chọn nước uống. Theo quy tắc nhân, số cách chọn thực đơn là 5 * 5 * 3 = 75.

Câu 30:

Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và chỉ một lần?

Lời giải: