Có 3 hộp, mỗi hộp đựng 5 viên bi, trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi trắng; hộp thứ ba có 3 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Nếu trong 3 bi lấy ra có 1 bi trắng. Thì xác suất để viên bi trắng đó là của hộp thứ nhất.

Gọi A là biến cố lấy được sản phẩm loại A từ kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai. Khi đó P(A) = 3/8.
Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ hai. Ta cần tìm E(X) và Var(X).
Tính E(X):
E(X) = 0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2)
Tuy nhiên, ta có thể tính E(X) theo cách khác sử dụng biến ngẫu nhiên chỉ thị.
Gọi Y_i là biến ngẫu nhiên chỉ thị cho sản phẩm thứ i lấy ra từ kiện thứ hai là loại A. Khi đó X = Y_1 + Y_2.
E(X) = E(Y_1 + Y_2) = E(Y_1) + E(Y_2) = P(Y_1 = 1) + P(Y_2 = 1)
P(Y_1 = 1) = P(Y_1 = 1 | A) * P(A) + P(Y_1 = 1 | không A) * P(không A)
= (3/8) * (3/7) + (5/8) * (2/7) = (9 + 10) / 56 = 19/56
P(Y_2 = 1) = P(Y_1 = 1) = 19/56
E(X) = 19/56 + 19/56 = 38/56 = 19/28.
Tính Var(X):
Var(X) = E(X^2) - E(X)^2
E(X^2) = E((Y_1 + Y_2)^2) = E(Y_1^2 + 2Y_1Y_2 + Y_2^2) = E(Y_1^2) + 2E(Y_1Y_2) + E(Y_2^2)
Vì Y_i là biến ngẫu nhiên chỉ thị nên Y_i^2 = Y_i.
E(Y_1^2) = E(Y_1) = 19/56
E(Y_2^2) = E(Y_2) = 19/56
E(Y_1Y_2) = P(Y_1 = 1 và Y_2 = 1) = P(Y_2 = 1 | Y_1 = 1) * P(Y_1 = 1)
P(Y_1 = 1) = 19/56
P(Y_2 = 1 | Y_1 = 1) = P(A) * P(Y_2 = 1 | Y_1 = 1, A) + P(không A) * P(Y_2 = 1 | Y_1 = 1, không A)
= (3/8) * (2/7) + (5/8) * (1/7) = (6 + 5) / 56 = 11/56
E(Y_1Y_2) = (11/56)
E(X^2) = 19/56 + 2*(11/56) + 19/56 = (19 + 22 + 19) / 56 = 60/56 = 15/14
Var(X) = 15/14 - (19/28)^2 = (15*28*28 - 19*19*14) / (14 * 28 * 28) = (11760 - 5054) / 10976= 6706/10976 = 3353/5488 = 905/2352

Gọi A₁ là biến cố sản phẩm do phân xưởng 1 sản xuất, A₂ là biến cố sản phẩm do phân xưởng 2 sản xuất.

Gọi B là biến cố sản phẩm không phải loại A.

Theo đề bài, ta có:

• P(A₁) = 0.4
• P(A₂) = 0.6
• P(B|A₁) = 1 - 0.8 = 0.2
• P(B|A₂) = 1 - 0.9 = 0.1

Áp dụng công thức Bayes:

P(A₁|B) = [P(B|A₁) * P(A₁)] / [P(B|A₁) * P(A₁) + P(B|A₂) * P(A₂)]

P(A₁|B) = (0.2 * 0.4) / (0.2 * 0.4 + 0.1 * 0.6) = 0.08 / (0.08 + 0.06) = 0.08 / 0.14 = 4/7 ≈ 0.57

P(A₂|B) = [P(B|A₂) * P(A₂)] / [P(B|A₁) * P(A₁) + P(B|A₂) * P(A₂)]

P(A₂|B) = (0.1 * 0.6) / (0.2 * 0.4 + 0.1 * 0.6) = 0.06 / (0.08 + 0.06) = 0.06 / 0.14 = 3/7 ≈ 0.43

Vì P(A₁|B) ≈ 0.57 > P(A₂|B) ≈ 0.43, nên khả năng sản phẩm do phân xưởng 1 sản xuất nhiều hơn.

Để tính \(E[X^3]\), ta sử dụng công thức:

\(E[X^3] = \int_{-\infty}^{\infty} x^3 f(x) dx\)

Trong trường hợp này, hàm mật độ \(f(x)\) khác 0 khi \(x \ge 0\). Vì vậy, ta có:

\(E[X^3] = \int_{0}^{\infty} x^3 (2e^{-2x}) dx = 2 \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-2x} dx\)

Để giải tích phân này, ta sử dụng tích phân từng phần nhiều lần hoặc sử dụng công thức tổng quát:

\(\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}}\)

Trong trường hợp này, \(n = 3\) và \(a = 2\), do đó:

\(\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-2x} dx = \frac{3!}{2^{3+1}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\)

Vậy,

\(E[X^3] = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{4}\)