Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z-2+3i \right|=4\) và \(\left| z+1-4i \right|+\left| z-9 \right|\) đạt GTLN. Khi đó \(5a-2b\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({{z}_{1}}=-1+4i,\,\,{{z}_{2}}=9\).
Gọi \(M,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \(z,\,\,{{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\).
Khi đó \(M\left( a;b \right),\,\,B\left( -1;4 \right)\) và \(C\left( 9;0 \right)\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) thì \(H\left( 4;2 \right)\).
Ta có \(\left| z-2+3i \right|=4\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}=16\) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 2;-3 \right)\), bán kính \(R=4\).
Dễ thấy \(IB>R,\,\,IC>R\) nên hai điểm \(B,\,\,C\) đều nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).
Do \(\overrightarrow{IH}=\left( 2;5 \right),\,\,\overrightarrow{BC}=\left( 10;-4 \right)\) nên \(\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{BC}=0\)
Suy ra \(I\) thuộc trung trực \(BC\).
Do đó, nếu \(IH\) cắt \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) sao cho \(I\) nằm giữa \(M\) và \(H\) thì \(MB+MC\) lớn nhất.
Vì với mọi điểm \(N\) khác \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) thì
\(NB+NC\le \sqrt{2\left( N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( 2N{{H}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2} \right)}=\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}\).
Chú ý rằng \(MB+MC=2\sqrt{M{{H}^{2}}+{{\left( \frac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}>\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}\)
nên \(MB+MC>NB+NC\).
.PNG)
Vậy điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow{IM}=-\frac{R}{IH}.\overrightarrow{IH}\) (1)
trong đó \(\overrightarrow{IM}=\left( a-2;b+3 \right),\,\,\overrightarrow{IH}=\left( 2;5 \right),\,\,R=4,\,\,IH=\sqrt{29}\).
Do đó (1) tương với
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a - 2 = \frac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}.2\\ b + 3 = \frac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}.5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5a = 10 - \frac{{40}}{{\sqrt {29} }}\\ 2b = - 6 - \frac{{40}}{{\sqrt {29} }} \end{array} \right.\\ \Rightarrow 5a - 2b = 16 \end{array}\)
Vậy \(5a-2b=16\).
Chọn C
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Thủ Thiêm
Câu hỏi liên quan
-
Hãy cho biết nghiệm của phương trình \({{2}^{x-1}}=8\) là?
-
Họ các nguyên hàm của HS \(f(x)=\sin 3x\) là?
-
Cho các số phức sau \(z=2+i\) và \(w=3-i.\) Phần thực của số phức \(z+w\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( -1;-1;1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)\) làm VTCP có phương trình chính tắc là?
-
Cho khối trụ có đường cao bằng \(2\), chu vi của thiết diện qua trục gấp \(3\) lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng?
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) bằng?
-
Gọi \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình sau \({{z}^{2}}-3z+5=0\). Môđun của số phức \(\left( 2{{{\bar{z}}}_{1}}-3 \right)\left( 2{{{\bar{z}}}_{2}}-3 \right)\) bằng?
-
Hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\)?
-
Cho \(10\) học sinh gồm \(5\) bạn lớp \(12A\) và \(5\) bạn lớp \(12B\) tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên \(10\) học sinh đó thành \(5\) cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
.png)
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| z+i \right|=2\) và \({{\left( z-2 \right)}^{4}}\) là số thực?
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\log x+\log \left( 3-x \right)\)?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Góc giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \({B}'{D}'\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=24\) cắt mp \(\left( \alpha \right):x+y=0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm hoành độ của điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho k/c từ \(M\) đến \(A\left( 6;-10;3 \right)\) lớn nhất?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình:
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên. Biết rằng \(G\left( x \right)={{x}^{3}}\) là 1 nguyên hàm của \(g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Họ tất cả các nguyên hàm của \({{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)\) là?
-
Cho góc ở đỉnh của 1 hình nón bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(r,h,l\) lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?
-
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh \(A{A}'=2a\) và tạo với mp đáy 1 góc bằng \(60{}^\circ \), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \({{a}^{2}}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng?
