Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=A{A}'=2a$, $AC=a$, $\widehat{BAC}=120{}^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BC{C}'{B}'$?

Giả sử $f\left( x \right)$ là hàm liên tục $\left( 0;\,+\infty  \right)$ và diện tích hình phẳng được kẻ sọc bằng $3$. Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)\text{d}x}$ bằng?

Cho HS $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên $\left[ 1;\ e \right]$. Biết $f\left( 1 \right)=1$ và $x.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+{{f}^{2}}\left( x \right)$ với mọi $x\in \left[ 1;\ e \right].$ Khi đó, $\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}dx}$ bằng?

Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, $O$ là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SO$ và $CD$ bằng?

Hãy cho biết nghiệm của phương trình ${{2}^{x-1}}=8$ là?

Tính chu vi đường tròn lớn của mặt cầu $S\left( O;R \right)$ là?

Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh $A{A}'=2a$ và tạo với mp đáy 1 góc bằng $60{}^\circ$, diện tích tam giác $ABC$ bằng ${{a}^{2}}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng?

Tìm tập xác định của hàm số $y=\log x+\log \left( 3-x \right)$?

Xét tất cả các số thực dương $x;y$ thỏa $\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy$. Khi biểu thức $\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tích $xy$ bằng?

Trong không gian $Oxyz$, cho mp $\left( \alpha  \right)$ vuông góc với $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$ và $\left( \alpha  \right)$ cắt trục $Ox$, trục $Oy$ và tia $Oz$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Biết rằng thể tích khối tứ diện $OMNP$ bằng $6$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm nào sau đây?

Biết khoảng (a; b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để pt $3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1$. Tính K = 5a + 2b?

Cho biết $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{1}{3}$ và $\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)}dx=\frac{4}{3}$. Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)}dx$ bằng?

Trong không gian $Oxyz$, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ là?

Họ các nguyên hàm của HS $f(x)=\sin 3x$ là?

Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng $\left( \alpha  \right):x+y+z+1=0$ và $\left( \beta  \right):x+2y+3z+4=0.$ Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ có tọa độ là?

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( -1;-1;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)$ làm VTCP có phương trình chính tắc là?

Có tất cả bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$?

Cho các số thực dương sau $a\,,\,b$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}\left( a+b \right)=3+{{\log }_{2}}ab$. Giá trị $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ bằng?

Cho $10$ học sinh gồm $5$ bạn lớp $12A$ và $5$ bạn lớp $12B$ tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên $10$ học sinh đó thành $5$ cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng?

Hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?