Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi \({O}'\) là tâm hình chữ nhật \(BC{C}'{B}'\). Từ \({O}'\) kẻ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) thì \(\Delta \) là trục đường tròn ngoại tiếp \(BC{C}'{B}'\).
Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Từ \(O\) kẻ đường thẳng \({\Delta }'\) vuông góc với \(\left( ABC \right)\) (song song với \(B{B}'\)), cắt \(\Delta \) tại \(I\).
Khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(A.BC{C}'{B}'\), bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \(R=IA\).
Xét tam giác \(IOA\) vuông tại \(O\) (vì \(IO\bot \left( ABC \right)\)) nên \(IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}\).
Trong đó \(IO={O}'M=\frac{1}{2}B{B}'=\frac{1}{2}A{A}'=a\), với \(M\) là trung điểm \(BC\);
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)
\(O{{A}^{2}}=\frac{B{{C}^{2}}}{4{{\sin }^{2}}\widehat{BAC}}\)\( =\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}}{4{{\sin }^{2}}\widehat{BAC}}\)\( =\frac{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2\cdot 2a\cdot a\cdot \cos 120{}^\circ }{4{{\sin }^{2}}120{}^\circ }\)\( =\frac{7{{a}^{2}}}{3}\).
Suy ra \(IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}\)\( =\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{7{{a}^{2}}}{3}}\)\( =\frac{\sqrt{30}a}{3}\).
Chọn B
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Thủ Thiêm
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối trụ có đường cao bằng \(2\), chu vi của thiết diện qua trục gấp \(3\) lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết \(f\left( 0 \right)=0\) và ĐTHS \(y={f}'\left( x \right)\) có hình vẽ:
.PNG)
Tập nghiệm của phương trình \(f\left( \left| 2\sin x-1 \right|-1 \right)=m\) (với \(m\) là tham số) trên đoạn \(\left[ 0;3\pi\right]\) có tất cả bao nhiêu phần tử?
-
Cho các số phức sau \(z=2+i\) và \(w=3-i.\) Phần thực của số phức \(z+w\) bằng?
-
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên. Biết rằng \(G\left( x \right)={{x}^{3}}\) là 1 nguyên hàm của \(g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Họ tất cả các nguyên hàm của \({{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)\) là?
-
Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục \(\left( 0;\,+\infty \right)\) và diện tích hình phẳng được kẻ sọc bằng \(3\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)\text{d}x}\) bằng?
.PNG)
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) (với \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình:
.PNG)
Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}\) song song với mặt phẳng nào?
-
Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z-2+3i \right|=4\) và \(\left| z+1-4i \right|+\left| z-9 \right|\) đạt GTLN. Khi đó \(5a-2b\) bằng?
-
Đạo hàm của hàm số sau \(f\left( x \right)=\frac{{{2}^{x}}-1}{{{2}^{x}}+1}\) là?
-
Hãy cho biết nghiệm của phương trình \({{2}^{x-1}}=8\) là?
-
Họ các nguyên hàm của HS \(f(x)=\sin 3x\) là?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
.png)
-
Cho đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{x}{x-1}\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( 1;1 \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Khi diện tích tam giác \(MAB\) đạt giá trị nhỏ nhất, với \(M\left( 0;3 \right)\) thì độ dài đoạn \(AB\) bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Có mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(\sqrt{3}a\), \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) có cạnh \(AC=a\), góc giữa \(AD\) và \((SAB)\) bằng \(30{}^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( -1;-1;1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)\) làm VTCP có phương trình chính tắc là?
-
Biết khoảng (a; b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để pt \(3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\). Tính K = 5a + 2b?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 1;\ e \right]\). Biết \(f\left( 1 \right)=1\) và \(x.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+{{f}^{2}}\left( x \right)\) với mọi \(x\in \left[ 1;\ e \right].\) Khi đó, \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}dx}\) bằng?
-
Hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
