Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( 2;1;3 \right),B\left( 6;5;5 \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đường kính \(AB\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) sao cho khối nón đỉnh \(A\) và đáy là hình tròn tâm \(H\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) có thể tích lớn nhất, biết rằng \(\left( P \right):2x+by+cz+d=0\) với \(b,c,d\in \mathbb{Z}\). Tính \(S=b+c+d.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 4;\,4;\,2 \right)\). Điểm \(H\) thuộc đoạn \(AB\) và không trùng với hai đầu mút nên ta giả sử \(\overrightarrow{AH}=t\overrightarrow{AB},\,\left( 0<t<1 \right)\)
Khi đó tọa độ của điểm \(H\) là \(H\left( 2+4t;\,1+4t;\,3+2t \right)\) và \(AH=tAB=6t\).
Tâm của mặt cầu là trung điểm của \(AB\) có tọa độ \(I\left( 4;\,3;\,4 \right)\), bán kính \(R=IA=3\)
Bán kính đường tròn đáy của nón là \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{9-9{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}=6\sqrt{t-{{t}^{2}}}\)
Thể tích khối nón:
\(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}AH=\frac{1}{3}\pi .36.\left( t-{{t}^{2}} \right).6t=36\pi {{t}^{2}}\left( 2-2t \right)\le 36\pi .{{\left( \frac{t+t+2-2t}{3} \right)}^{3}}=\frac{32}{3}\pi \)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(t=2-2t\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}\).
Khi đó \(H\left( \frac{14}{3};\,\frac{11}{3};\,\frac{13}{3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(H\), nhận \(\overrightarrow{AB}\) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:
\(2\left( x-\frac{14}{3} \right)+2\left( y-\frac{11}{3} \right)+\left( z-\frac{13}{3} \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-21=0\).
Do đó:
\(\left\{ \begin{align} & b=2 \\ & c=1 \\ & d=-21 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow b+c+d=-18.\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu