Trong không gian \(Oxyz\), cho mp \(\left( P \right):ax+by+cz+7=0\) qua điểm \(A\left( 2;0;1 \right)\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x-y+z+1=0\) và tạo với mặt phẳng \(\left( R \right):x-y+2z-1=0\) một góc \({{60}^{\text{o}}}\). Tổng \(a+b+c\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua điểm \(A\left( 2;0;1 \right)\) nên ta có: \(2a+c=-7\Leftrightarrow c=-2a-7\,\,\,\left( 1 \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là:
\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( a;b;c \right),\,\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 3;-1;1 \right),\,\,\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( 1;-1;2 \right)\).
Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên ta có:
\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\Leftrightarrow 3a-b+c=0\Leftrightarrow b=3a+c\Leftrightarrow b=a-7\,\,\,\left( 2 \right)\).
Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( R \right)\) một góc \({{60}^{\text{o}}}\) nên ta có:
\(\cos {{60}^{\text{o}}}=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}\)\( \Leftrightarrow \frac{\left| a-b+2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\,\,\left( 3 \right)\).
Thay \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta có:
\(\begin{align} & 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow 2\left| a-a+7-4a-14 \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a-7 \right)}^{2}}+{{\left( -2a-7 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)
\(\Leftrightarrow 2\left| -4a-7 \right|=\sqrt{6}\sqrt{6{{a}^{2}}+14a+98}\)
\(\Leftrightarrow 28{{a}^{2}}+140a-392=0\).
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=2 \\ & a=-7 \\ \end{align} \right.\)
Với \(a=2\Rightarrow b=-5,\,c=-11\Rightarrow a+b+c=-14\).
Với \(a=-7\Rightarrow b=-14,\,c=7\Rightarrow a+b+c=-14\).
Vậy \(a+b+c=-14\).
Chọn C
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Thủ Thiêm
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh \(A{A}'=2a\) và tạo với mp đáy 1 góc bằng \(60{}^\circ \), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \({{a}^{2}}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng?
-
Hãy cho biết nghiệm của phương trình \({{2}^{x-1}}=8\) là?
-
Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục \(\left( 0;\,+\infty \right)\) và diện tích hình phẳng được kẻ sọc bằng \(3\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)\text{d}x}\) bằng?
.PNG)
-
Cho một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mp \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}\) và \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\), trục \(Oy\) và tia \(Oz\) lần lượt tại \(M\), \(N\), \(P\). Biết rằng thể tích khối tứ diện \(OMNP\) bằng \(6\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm nào sau đây?
-
Cho khối chóp \({S.ABCD}\) có đáy \({ABCD}\) là hình thoi, \({\widehat{DAB}=60{}^\circ }\), \({AD=a}\), tam giác \({SBC}\) cân tại \({S}\), tam giác \({SCD}\) vuông tại \({C}\), k/c giữa \({SA}\) và \({CD}\) bằng \({\frac{4a}{5}}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng?
-
Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( 0;\pi \right)\) và \(f'\left( x \right)\sin x=x+f\left( x \right)\cos x,\,\,\,\forall x\in \left( 0;\pi \right).\) Biết \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1,\,\,f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{12}\left( a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3} \right)\), với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a+b+c\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Hỏi phương trình \(2f\left( x \right)=5\) có bao nhiêu nghiệm trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\)?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Góc giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \({B}'{D}'\) bằng?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1\) và \({{u}_{3}}=\frac{1}{3}\). Công sai của \(\left( {{u}_{n}} \right)\) bằng?
-
Tính chu vi đường tròn lớn của mặt cầu \(S\left( O;R \right)\) là?
-
Biết khoảng (a; b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để pt \(3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\). Tính K = 5a + 2b?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình:
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho các số thực dương sau \(a\,,\,b\) thỏa mãn \({{\log }_{2}}\left( a+b \right)=3+{{\log }_{2}}ab\). Giá trị \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) bằng?
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Phương trình \(f\left( {{x}^{2}} \right)+1=0\) có bao nhiêu nghiệm?
-
Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z-2+3i \right|=4\) và \(\left| z+1-4i \right|+\left| z-9 \right|\) đạt GTLN. Khi đó \(5a-2b\) bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| z+i \right|=2\) và \({{\left( z-2 \right)}^{4}}\) là số thực?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ -3;3 \right]\) bằng?
.png)
-
Cho khối trụ có đường cao bằng \(2\), chu vi của thiết diện qua trục gấp \(3\) lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 1;\ e \right]\). Biết \(f\left( 1 \right)=1\) và \(x.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+{{f}^{2}}\left( x \right)\) với mọi \(x\in \left[ 1;\ e \right].\) Khi đó, \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}dx}\) bằng?
