Cho khối chóp \({S.ABCD}\) có đáy \({ABCD}\) là hình thoi, \({\widehat{DAB}=60{}^\circ }\), \({AD=a}\), tam giác \({SBC}\) cân tại \({S}\), tam giác \({SCD}\) vuông tại \({C}\), k/c giữa \({SA}\) và \({CD}\) bằng \({\frac{4a}{5}}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Tam giác \(BCD\) cân tại \(C\,\left( CB=CD=a \right)\) có \(\widehat{BCD}=\widehat{DAB}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta BCD\) là tam giác đều cạnh \(a\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{align} & DM\bot BC \\ & SM\bot BC \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow BC\bot \left( SDM \right)\)\( \Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( SDM \right)\) mà \(\left( ABCD \right)\cap \left( SDM \right)=DM\).
Trong \(\left( SDM \right)\), kẻ \(SH\bot DM\)\( \Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\).
Vì \(CD\bot SC\,\left( gt \right),CD\bot SH\,\left( do\,SH\bot \left( ABCD \right),\,CD\subset \left( ABCD \right) \right)\)\( \Rightarrow CD\bot \left( SHC \right)\)\( \Rightarrow CD\bot HC\).
Suy ra \(H\) thuộc đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với \(CD\).
Vì \(AB//CD\)\( \Rightarrow \left( SAB \right)//CD\)\( \Rightarrow d\left( SA,\,CD \right)=d\left( CD,\left( SAB \right) \right)\)\( =d\left( C,\left( SAB \right) \right)\)\( =\frac{CE}{HE}d\left( H,\left( SAB \right) \right)\)
(với \(E=HC\cap AB\)).
Vì \(BE//CD,\,BN//CE\) (do cùng vuông góc \(CD\)) nên \(BECN\) là hình bình hành.
\(\Rightarrow CE=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2},\,HE=GN=\frac{a\sqrt{3}}{2\times 3}\)\( =\frac{a\sqrt{3}}{6}\).
(với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\)).
\(\Rightarrow \frac{CE}{HE}=\frac{BN}{GN}=3\)\( \Rightarrow d\left( SA,\,CD \right)=3d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{4a}{5}\)\( \Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{4a}{15}\). \(\left( 1 \right)\)
Kẻ \(HK\bot SE\)\( \Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=HK\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow HK=\frac{4a}{15}\).
\(\Delta SHE\) vuông tại \(H,\,HK\bot SE\)\( \Rightarrow \frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{E}^{2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{225}{16{{a}^{2}}}\)\( =\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{36}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SH\)\( =\frac{4a}{\sqrt{33}}\).
Thể tích của khối chóp đã cho là \(V=\frac{1}{3}Bh\)\( =\frac{1}{3}\times \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\times \frac{4a}{\sqrt{33}}\)\( =\frac{2{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}\).
Chọn D
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Thủ Thiêm
Câu hỏi liên quan
-
Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục \(\left( 0;\,+\infty \right)\) và diện tích hình phẳng được kẻ sọc bằng \(3\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)\text{d}x}\) bằng?
.PNG)
-
Cho góc ở đỉnh của 1 hình nón bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(r,h,l\) lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}\) song song với mặt phẳng nào?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z+1=0\) và \(\left( \beta \right):x+2y+3z+4=0.\) Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) có tọa độ là?
-
Xét tất cả các số thực dương \(x;y\) thỏa \(\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy\). Khi biểu thức \(\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tích \(xy\) bằng?
-
Họ các nguyên hàm của HS \(f(x)=\sin 3x\) là?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Hỏi phương trình \(2f\left( x \right)=5\) có bao nhiêu nghiệm trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\)?
-
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh \(A{A}'=2a\) và tạo với mp đáy 1 góc bằng \(60{}^\circ \), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \({{a}^{2}}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng?
-
Gọi \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình sau \({{z}^{2}}-3z+5=0\). Môđun của số phức \(\left( 2{{{\bar{z}}}_{1}}-3 \right)\left( 2{{{\bar{z}}}_{2}}-3 \right)\) bằng?
-
Cho khối trụ có đường cao bằng \(2\), chu vi của thiết diện qua trục gấp \(3\) lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng?
-
Cho một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0\) có hai nghiệm phức \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\)thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( -1;-1;1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)\) làm VTCP có phương trình chính tắc là?
-
Một chiếc xe đua \({{F}_{1}}\) đạt tới vận tốc lớn nhất là \(360\,km/h\). Đồ thị dưới biểu thị vận tốc \(v\) của xe trong \(5\) giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong \(2\) giây đầu tiên là một phần của parabol đỉnh tại gốc tọa độ \(O\), giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng \(3\) giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị \(1\) giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị \(10\,m/s\) và trong \(5\) giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong \(5\) giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?
-
Biết khoảng (a; b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để pt \(3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\). Tính K = 5a + 2b?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Có mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(\sqrt{3}a\), \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) có cạnh \(AC=a\), góc giữa \(AD\) và \((SAB)\) bằng \(30{}^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng?
-
Đạo hàm của hàm số sau \(f\left( x \right)=\frac{{{2}^{x}}-1}{{{2}^{x}}+1}\) là?
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{x+3}{{{x}^{3}}-3x}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
.png)
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Phương trình \(f\left( {{x}^{2}} \right)+1=0\) có bao nhiêu nghiệm?
