Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {0;0;10} \right)\) và \(B\left( {3;4;6} \right)\). Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác AOM không có góc tù và có diện tích bằng 15. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\begin{array}{l}
{S_{OAM}} = \frac{1}{2}OA.d\left( {M,OA} \right) = 15\\
\Rightarrow d\left( {M,OA} \right) = 3.
\end{array}\)
Suy ra: M di động trên mặt trụ, bán kính bằng 3, trục là OA.
Xét điểm D như hình vẽ, \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} HA.HO = H{D^2} = 9\\ HA + HO = 10 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} HA = 1\\ HO = 9 \end{array} \right. \end{array}\)
Vì \(\widehat {AMO} \le {90^0}\) nên giới hạn của M là hai mặt trụ với trục AH và FO.
Vì hình chiếu của B cách H gần hơn nên \(B{M_{\min }} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \)
Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng \(\left( {3;4} \right)\).
Đáp án B