Cho khối lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = a\). Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}a\), thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKẻ \(AH \bot A'B,H \in A'B\)
Vì \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot AA' \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ABB'A'} \right)\\ \Rightarrow BC \bot AH \end{array}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AH\\ AH \bot A'B \end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right)\)
Do đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Xét tam giác vuông AA'B vuông tại A , ta có
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{AA{'^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{AA{'^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{AA{'^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}}\\
\Rightarrow AA' = a\sqrt 2
\end{array}\).
Vậy
\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = \frac{1}{2}a.a.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
Đáp án B
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^3}\)