Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2} - 3 - 4i} \right| = 2\left| z \right|\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\). Giá trị của \({M^2} + {m^2}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiÁp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
\(\begin{array}{l}
2|z| = |{z^2} - 3 - 4i|\\
\ge \left| {{{\left| z \right|}^2} - \left| {3 + 4i} \right|} \right|\\
= \left| {{{\left| z \right|}^2} - 5} \right|
\end{array}\)
(vì \(\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}\) ).
Dấu “=” xảy ra khi \({z^2} = k\left( { - 3 - 4i} \right)\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}
4{\left| z \right|^2} \ge {\left( {\left| z \right| - 5} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 14{\left| z \right|^2} + 25 \le 0\\
\Leftrightarrow 7 - 2\sqrt 6 \le {\left| z \right|^2} \le 7 + 2\sqrt 6 \\
\Rightarrow \sqrt 6 - 1 \le \left| z \right| \le \sqrt 6 + 1
\end{array}\)
Do đó, ta có \(m = \sqrt 6 - 1,M = \sqrt 6 + 1\)
Vậy \({M^2} + {m^2} = 14\).
Đáp án C