Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=1+4t \\& z=1 \\-\end{align} \right..\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( -2;\ 1;\ 2 \right).\) Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) có phương trình là:

A. \(\left\{ \begin{align} & x=1+27t \\ & y=1+t \\ & z=1+t \\\end{align} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{align} & x=-18+19t \\ & y=-6+7t \\ & z=11-10t \\\end{align} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{align} & x=-18+19t \\ & y=-6+7t \\ & z=-11-10t \\\end{align} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{align} & x=1-t \\ & y=1+17t \\ & z=1+10t \\\end{align} \right.\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Ta có: \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 3;\ 4;\ 0 \right)\) và \(d\) đi qua \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right).\)

\(\Rightarrow d\cap \Delta =A\left( 1;\ 1;\ 1 \right).\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\ \ \left\{ \begin{align} & x=1-2t \\ & y=1+t \\ & z=1+2t \\\end{align} \right..\)

Chọn \(B\left( 4;\ 5;\ 1 \right)\) là một điểm thuộc đường thẳng \(d.\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;\ 4;\ 0 \right)\Rightarrow AB=5.\)

Lấy điểm \(C\left( 1-2t;\ 1+t;\ 1+2t \right)\in \Delta \) sao cho \(AB=AC.\)

\(\Rightarrow {{\left( -2t \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\frac{25}{9}\Leftrightarrow t=\pm \frac{5}{3}.\)

+) Với \(t=\frac{5}{3}\Rightarrow C\left( -\frac{7}{3};\ \frac{8}{3};\ \frac{13}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( -\frac{10}{3};\ \frac{5}{3};\ \frac{10}{3} \right).\)

Khi đó ta có: \(\cos \left( d,\ \Delta \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{-\frac{10}{3}}{5.5}=-\frac{2}{15}<0\Rightarrow \angle \left( d;\ \Delta \right)\) là góc tù.

+) Với \(t=-\frac{5}{3}\Rightarrow C\left( \frac{13}{3};-\frac{2}{3};-\frac{7}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( \frac{10}{3};-\frac{5}{3};-\frac{10}{3} \right).\)

Khi đó ta có: \(\cos \left( d,\ \Delta \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{\frac{10}{3}}{5.5}=\frac{2}{15}>0\Rightarrow \angle \left( d;\ \Delta \right)\) là góc nhọn nên ta cần lập phương trình đường phân giác trong TH này.

Ta có VTCP của đường phân giác của góc tạo bởi \(d\) và \(\Delta \) là: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\left( \frac{19}{3};\ \frac{7}{3};\ -\frac{10}{3} \right)=\frac{1}{3}\left( 19;\ 7;\ -10 \right).\)

Khi đó phương trình đường phân giác \(d'\) đi qua \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left( 19;\ 7;-10 \right)\) là: \(\left\{ \begin{align} & x=1+19t \\ & y=1+7t \\ & z=1-10t \\\end{align} \right..\)

Với \(t=-1\) ta có: \(I\left( -18;-6;\ 11 \right)\in d'.\)

Vậy đường thẳng \(d':\ \left\{ \begin{align} & x=-18+19t \\ & y=-6+7t \\ & z=11-10t \\\end{align} \right..\)

Chọn B.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài