Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i=\left( 6-i \right)z?\)

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Ta có: \(\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i=\left( 6-i \right)z\)

Lấy modul 2 vế của phương trình \(\left( * \right)\) ta được: \(\left| z \right|\sqrt{{{\left( \left| z \right|-6 \right)}^{2}}+1}=\sqrt{25\left| {{z}^{2}} \right|+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}\ \ \ \ \left( 1 \right)\)

Đặt \(x=\left| z \right|\ \ \left( x\ge 0 \right).\) Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow x\sqrt {{{\left( {x - 6} \right)}^2} + 1} = \sqrt {25{x^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 12x + 36 + 1} \right) = 25{x^2} + {x^2} - 4x + 4\\
\Leftrightarrow {x^4} - 12{x^3} + 36{x^2} + {x^2} = 26{x^2} - 4x + 4\\
\Leftrightarrow {x^4} - 12{x^3} + 11{x^2} + 4x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 11{x^2} + 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
{x^3} - 11{x^2} + 4 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\;\;\left( {tm} \right)\\
x \approx 10,97\;\;\;\left( {tm} \right)\\
x \approx 0,62\;\;\;\left( {tm} \right)\\
x \approx - 0,59\;\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left| z \right| = 1\;\\
\left| z \right| \approx 10,97\;\\
\left| z \right| \approx 0,62\;
\end{array} \right..
\end{array}\)