Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-2x+1-2\left| x-m \right|}}={{\log }_{{{x}^{2}}-2x+3}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Phương trình tương đương \({3^{{x^2} - 2x + 3 - (2\left| {x - m} \right| + 2)}} = \frac{{\ln \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)}}{{\ln \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}\).

\( \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 2x + 3}}.\ln \left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {3^{2\left| {x - m} \right| + 2}}.\ln \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\).

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {3^t}.\ln t,\;t \ge 2\) là hàm số đồng biến nên từ phương trình suy ra

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 2\left| {x - m} \right| + 2\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} - 2x - 2\left| {x - m} \right| + 1 = 0 \end{array}\)

Có \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4x + 2m + 1\;khi\;x \ge m\\ {x^2} - 2m + 1\quad \quad khi\;x \le m \end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2x - 4\;khi\;x \ge m\\ 2x\quad \;\;khi\;x \le m \end{array} \right.\).

và \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\;khi\;x \ge m\\ x = 0\;khi\;x \le m \end{array} \right.\).

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(m \le 0\) ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có m thoả mãn.

Trường hợp 2: \(m \ge 2\) tương tự.

Trường hợp 3: 0 < m < 2, bảng biến thiên g(x) như sau:

Phương trình có 3 nghiệm khi \(\left[ \begin{array}{l} {\left( {m - 1} \right)^2} = 0\\ - 2m + 1 = 0 > 2m - 3\\ - 2m + 1 < 0 = 2m - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = \frac{1}{2}\\ m = \frac{3}{2} \end{array} \right.\).

Cả 3 giá trị trên đều thoả mãn, nên tổng của chúng bằng 3.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài