Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(\left( ABCD \right)\), biết \(SD=2a\sqrt{5}\), SC tạo với mặt đáy \(\left( ABCD \right)\) một góc \(60{}^\circ \). Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SA.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Dựng hình bình hành AMDI. Khi đó: \(MD//AI\Rightarrow MD//\left( SAI \right)\)
\(\Rightarrow d\left( MD,AI \right)=d\left( MD,\left( SAI \right) \right)=d\left( M,\left( SAI \right) \right)\)
Dựng \(MH\bot AI\) và \(MK\bot SH\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AI \bot MH\\ AI \bot SM\,\,\left( {do\,SM \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SMH} \right) \Rightarrow AI \bot MK\,\,\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)suy ra: \(MK\bot \left( SAI \right)\Rightarrow d\left( M,\left( SAI \right) \right)=MK\)
+ Ta có: \(SM\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow MC\) là hình chiếu của SC trên \(\left( ABCD \right)\) nên \(\left( \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SCM}=60{}^\circ \)
+ Xét tam giác vuông SMC và SMD có: \(SM=\sqrt{S{{D}^{2}}-M{{D}^{2}}}=MC.\tan 60{}^\circ \,\,\left( 3 \right)\)
Mặt khác: MC=MD (ABCD là hình vuông).
Suy ra: \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow S{{D}^{2}}-M{{C}^{2}}=3M{{C}^{2}}\Leftrightarrow MC=a\sqrt{5}=MD\Rightarrow SM=a\sqrt{15}\).
Đặt \(MA=x\,\,\,\,\left( x>0 \right)\Rightarrow \,AD=2x\)
Xét tam giác MAD vuông tại A có \(M{{A}^{2}}=M{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}\Rightarrow x=a\).
.png)
Lại có: \(\Delta MAH\backsim \Delta AID\Rightarrow MH=\frac{AD.MA}{AI}=\frac{2a}{\sqrt{5}}\).
Khi đó: \(\frac{1}{M{{K}^{2}}}=\frac{1}{M{{H}^{2}}}+\frac{1}{S{{M}^{2}}}\Rightarrow MK=\frac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{79}}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thái Bình Dương lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có \(A\left( -1;1;6 \right), B\left( -3;-2;-4 \right), $C\left( 1;2;-1 \right), D\left( 2;-2;0 \right)\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a+b+c.
-
Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị đạo hàm \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên.
.jpg.png)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.
.png)
Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh \(2,5\,\text{cm}\). Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có \(BE=3,5\,\text{cm}\). Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF. Thể tích của chi tiết máy bằng
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \(z=3+i\) là điểm nào trong hình vẽ dưới đây?
.jpg.png)
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( 1-i \right)z+4\bar{z}=7-7i\). Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu?
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)}^{\frac{1}{3}}}\).
-
Đường thẳng y=-3x cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2\) tại điểm có tọa độ \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì
-
Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của \(A\left( 1\,;\,1;\,1 \right)\) lên đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 + t\\ z = t \end{array} \right.\)
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 36-{{x}^{2}} \right)\ge 3\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) là
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=\sqrt{15}a\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2;-1;5 \right),B\left( 1;-2;3 \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Ox có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=\left( 0;a;b \right)\). Khi đó tỉ số \(\frac{a}{b}\) bằng
-
Rút gọn biểu thức \(A=\frac{\sqrt[3]{{{a}^{7}}}.{{a}^{\frac{11}{3}}}}{{{a}^{4}}.\sqrt[7]{{{a}^{-5}}}}\) với a>0 ta được kết quả \(A={{a}^{\frac{m}{n}}}\) trong đó m, \(n\in {{N}^{*}}\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=-2-3i\) và \(\text{ }{{z}_{2}}=5-i\). Tổng phần thực và phần ảo của số phức \(2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) bằng
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( -2\,;\,+\infty \right)\) là
-
Cho phương trình \(\log _{3}^{2}\left( 3x \right)-\log _{3}^{2}{{x}^{2}}-1=0.\) Biết phương trình có 2 nghiệm, tính tích P của hai nghiệm đó.
-
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-2x+1-2\left| x-m \right|}}={{\log }_{{{x}^{2}}-2x+3}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\). Khoảng nghịch biến của hàm số là
-
Cho số phức \(z,\,{{z}_{1}},\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-4-5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1 \right|=1\) và \(\left| \overline{z}+4i \right|=\left| z-8+4i \right|\). Tính \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\,\,\) khi \(P=\left| z-{{z}_{1}} \right|\,+\left| z-{{z}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
