Cho hàm số đa thức bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.

Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng. Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát.

Cho số phức z thoả mãn \(\frac{1+i}{z}\) là số thực và \(\left| z-2 \right|=m\) với \(m\in \mathbb{R}\). Gọi \({{m}_{0}}\) là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó

Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.

Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh \(2,5\,\text{cm}\). Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có \(BE=3,5\,\text{cm}\). Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF. Thể tích của chi tiết máy bằng

Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của \(A\left( 1\,;\,1;\,1 \right)\) lên đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 + t\\ z = t \end{array} \right.\)

Khối chóp S.ABC có thể tích \(V=\frac{2\sqrt{2}}{3}\) và diện tích đáy \(B=\sqrt{3}\). Chiều cao của khối chóp S.ABC bằng

Cho hình lăng trụ đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\). Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) bằng a, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) bằng \(\alpha \) với \(\cos \alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).

Cho hai số phức \({{z}_{1}}=-2-3i\) và \(\text{ }{{z}_{2}}=5-i\). Tổng phần thực và phần ảo của số phức \(2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) bằng

Tìm tập xác định D của hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)}^{\frac{1}{3}}}\).

Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 36-{{x}^{2}} \right)\ge 3\) là

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\), hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(g\left( x \right)=2f\left( \frac{5\sin x-1}{2} \right)+\frac{{{(5\sin x-1)}^{2}}}{4}+3\) có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \(\left( 0;2\pi  \right)\).

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{8}\) và \({f}'\left( x \right)=x{{\cos }^{2}}x, \forall x\in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{8f\left( x \right)-\cos 2x}{x}\text{d}x}\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\). Khoảng nghịch biến của hàm số là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{-5}=\frac{z+1}{3}\). Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của d?

Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua 4 điểm \(A\left( 2;0;0 \right),B\left( 1;3;0 \right),C\left( -1;0;3 \right),D\left( 1;2;3 \right)\). Tính bán kính R của \(\left( S \right)\).

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \({f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x+3 \right)\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Rút gọn biểu thức \(A=\frac{\sqrt[3]{{{a}^{7}}}.{{a}^{\frac{11}{3}}}}{{{a}^{4}}.\sqrt[7]{{{a}^{-5}}}}\) với a>0 ta được kết quả \(A={{a}^{\frac{m}{n}}}\) trong đó m, \(n\in {{N}^{*}}\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Cho các mệnh đề sau:

I. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-3 \right)\) và \(\left( -3;-2 \right)\).

II. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\).

III. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -2;+\infty  \right)\).

IV. Hàm số đồng biến trên \(\left( -\infty ;5 \right)\).

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Đường thẳng y=-3x cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2\) tại điểm có tọa độ \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì