Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{8}\) và \({f}'\left( x \right)=x{{\cos }^{2}}x, \forall x\in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{8f\left( x \right)-\cos 2x}{x}\text{d}x}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\int{x{{\cos }^{2}}x\text{d}x}=\int{x.\frac{1+\cos 2x}{2}}\text{d}x=\int{\frac{x}{2}\text{d}x+\frac{1}{2}\int{x\cos 2x\text{d}x}}=\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}\int{x\text{d}\left( \sin 2x \right)}\)
\(=\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}x\sin 2x-\frac{1}{4}\int{\sin 2x\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}x\sin 2x+\frac{1}{8}\cos 2x+C\)
Suy ra \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}x\sin 2x+\frac{1}{8}\cos 2x+C\)
Mà \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{8}\Rightarrow \frac{1}{8}+C=\frac{1}{8}\Leftrightarrow C=0\)
Do đó \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}x\sin 2x+\frac{1}{8}\cos 2x\).
Ta có \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{8f\left( x \right)-\cos 2x}{x}\text{d}x}=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\left( 2x+2\sin 2x \right)\text{d}x}=\left. \left( {{x}^{2}}-\cos 2x \right) \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }={{\pi }^{2}}-1-\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-1=\frac{3{{\pi }^{2}}-8}{4}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thái Bình Dương lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\), hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(g\left( x \right)=2f\left( \frac{5\sin x-1}{2} \right)+\frac{{{(5\sin x-1)}^{2}}}{4}+3\) có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \(\left( 0;2\pi \right)\).
.jpg.png)
-
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3-2x}{x+1}\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\). Khoảng nghịch biến của hàm số là
-
Rút gọn biểu thức \(A=\frac{\sqrt[3]{{{a}^{7}}}.{{a}^{\frac{11}{3}}}}{{{a}^{4}}.\sqrt[7]{{{a}^{-5}}}}\) với a>0 ta được kết quả \(A={{a}^{\frac{m}{n}}}\) trong đó m, \(n\in {{N}^{*}}\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( -1;\,5;\,3 \right)\) và \(M\left( 2;\,1;\,-2 \right)\). Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là
-
Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.
.png)
Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh \(2,5\,\text{cm}\). Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có \(BE=3,5\,\text{cm}\). Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF. Thể tích của chi tiết máy bằng
-
Hàm số \(y={{3}^{{{x}^{2}}-x}}\) có đạo hàm là
-
Khối chóp S.ABC có thể tích \(V=\frac{2\sqrt{2}}{3}\) và diện tích đáy \(B=\sqrt{3}\). Chiều cao của khối chóp S.ABC bằng
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( 1-i \right)z+4\bar{z}=7-7i\). Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu?
-
Cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=3\), công sai d=5, số hạng thứ tư là
-
Cho \(\int\limits_{1}^{\text{e}}{\left( 2+x\ln x \right)}\text{d}x=a{{\text{e}}^{2}}+b\text{e}+c\) với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \(z=3+i\) là điểm nào trong hình vẽ dưới đây?
.jpg.png)
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.jpg.png)
-
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị đạo hàm \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên.
.jpg.png)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho số phức \(z,\,{{z}_{1}},\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-4-5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1 \right|=1\) và \(\left| \overline{z}+4i \right|=\left| z-8+4i \right|\). Tính \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\,\,\) khi \(P=\left| z-{{z}_{1}} \right|\,+\left| z-{{z}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) là
-
Cho a,b,c,d,e,f là các số thực thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {d - 1} \right)^2} + {\left( {e - 2} \right)^2} + {\left( {f - 3} \right)^2} = 1\\ {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9 \end{array} \right..\) Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=\sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+{{\left( b-e \right)}^{2}}+{{\left( c-f \right)}^{2}}}\) lần lượt là M,m. Khi đó, M-m bằng
-
Đường thẳng y=-3x cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2\) tại điểm có tọa độ \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, \(SA=a\sqrt{6}\), SA vuông góc với đáy, mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) tạo với đáy góc \(\varphi \) sao cho \(\tan \varphi =\sqrt{6}\). Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối tứ diện SOGC.
