Cho \(\int\limits_{1}^{\text{e}}{\left( 2+x\ln x \right)}\text{d}x=a{{\text{e}}^{2}}+b\text{e}+c\) với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {2 + x\ln x} \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_1^{\rm{e}} 2 {\rm{d}}x + \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x = 2x\left| \begin{array}{l} {\rm{e}}\\ 1 \end{array} \right. + I = 2{\rm{e}} - 2 + I\) với \(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ {\rm{d}}v = x{\rm{d}}x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x\left| \begin{array}{l} {\rm{e}}\\ 1 \end{array} \right. - \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{x}{2}} {\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x\left| \begin{array}{l} {\rm{e}}\\ 1 \end{array} \right. - \frac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l} {\rm{e}}\\ 1 \end{array} \right. = \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{1}{4}\left( {{e^2} - 1} \right) = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\)
\(\Rightarrow \int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {2 + x\ln x} \right)} {\rm{d}}x = 2{\rm{e}} - 2 + \frac{{{{\rm{e}}^2} + 1}}{4} = \frac{1}{4}{{\rm{e}}^2} + 2{\rm{e}} - \frac{7}{4}\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{4}\\ b = 2\\ c = - \frac{7}{4} \end{array} \right. \Rightarrow a - b = c\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thái Bình Dương lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \(z=3+i\) là điểm nào trong hình vẽ dưới đây?
.jpg.png)
-
Cho số phức z thoả mãn \(\frac{1+i}{z}\) là số thực và \(\left| z-2 \right|=m\) với \(m\in \mathbb{R}\). Gọi \({{m}_{0}}\) là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó
-
Cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=3\), công sai d=5, số hạng thứ tư là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=-2-3i\) và \(\text{ }{{z}_{2}}=5-i\). Tổng phần thực và phần ảo của số phức \(2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) bằng
-
Cho a,b,c,d,e,f là các số thực thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {d - 1} \right)^2} + {\left( {e - 2} \right)^2} + {\left( {f - 3} \right)^2} = 1\\ {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9 \end{array} \right..\) Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=\sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+{{\left( b-e \right)}^{2}}+{{\left( c-f \right)}^{2}}}\) lần lượt là M,m. Khi đó, M-m bằng
-
Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Giá của cánh cửa sau khi hoàn thành là 900 000 đồng/m2. Số tiền mà ông An phải trả để làm cánh cửa đó bằng
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) không âm, có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 0\,;\,1 \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1, \left[ 2f\left( x \right)+1-{{x}^{2}} \right]{f}'\left( x \right)=2x\left[ 1+f\left( x \right) \right], \forall x\in \left[ 0\,;\,1 \right]\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ.
.png)
Cho các mệnh đề sau:
I. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-3 \right)\) và \(\left( -3;-2 \right)\).
II. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\).
III. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -2;+\infty \right)\).
IV. Hàm số đồng biến trên \(\left( -\infty ;5 \right)\).
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
-
Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng. Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát.
.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \({f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x+3 \right)\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( -1;\,5;\,3 \right)\) và \(M\left( 2;\,1;\,-2 \right)\). Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là
-
Nghiệm của phương trình \({{3}^{x-1}}=27\) là
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( -2\,;\,+\infty \right)\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có \(A\left( -1;1;6 \right), B\left( -3;-2;-4 \right), $C\left( 1;2;-1 \right), D\left( 2;-2;0 \right)\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a+b+c.
-
Cho phương trình \(\log _{3}^{2}\left( 3x \right)-\log _{3}^{2}{{x}^{2}}-1=0.\) Biết phương trình có 2 nghiệm, tính tích P của hai nghiệm đó.
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)}^{\frac{1}{3}}}\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\). Khoảng nghịch biến của hàm số là
-
Cho số phức \(z,\,{{z}_{1}},\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-4-5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1 \right|=1\) và \(\left| \overline{z}+4i \right|=\left| z-8+4i \right|\). Tính \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\,\,\) khi \(P=\left| z-{{z}_{1}} \right|\,+\left| z-{{z}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( 1-i \right)z+4\bar{z}=7-7i\). Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu?
