Cho \(\int\limits_{1}^{\text{e}}{\left( 2+x\ln x \right)}\text{d}x=a{{\text{e}}^{2}}+b\text{e}+c\) với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {2 + x\ln x} \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_1^{\rm{e}} 2 {\rm{d}}x + \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x = 2x\left| \begin{array}{l} {\rm{e}}\\ 1 \end{array} \right. + I = 2{\rm{e}} - 2 + I\) với \(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ {\rm{d}}v = x{\rm{d}}x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x\left| \begin{array}{l} {\rm{e}}\\ 1 \end{array} \right. - \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{x}{2}} {\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x\left| \begin{array}{l} {\rm{e}}\\ 1 \end{array} \right. - \frac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l} {\rm{e}}\\ 1 \end{array} \right. = \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{1}{4}\left( {{e^2} - 1} \right) = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\)
\(\Rightarrow \int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {2 + x\ln x} \right)} {\rm{d}}x = 2{\rm{e}} - 2 + \frac{{{{\rm{e}}^2} + 1}}{4} = \frac{1}{4}{{\rm{e}}^2} + 2{\rm{e}} - \frac{7}{4}\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{4}\\ b = 2\\ c = - \frac{7}{4} \end{array} \right. \Rightarrow a - b = c\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thái Bình Dương lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ.
.png)
Cho các mệnh đề sau:
I. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-3 \right)\) và \(\left( -3;-2 \right)\).
II. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\).
III. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -2;+\infty \right)\).
IV. Hàm số đồng biến trên \(\left( -\infty ;5 \right)\).
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
-
Khối chóp S.ABC có thể tích \(V=\frac{2\sqrt{2}}{3}\) và diện tích đáy \(B=\sqrt{3}\). Chiều cao của khối chóp S.ABC bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{8}\) và \({f}'\left( x \right)=x{{\cos }^{2}}x, \forall x\in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{8f\left( x \right)-\cos 2x}{x}\text{d}x}\) bằng
-
Cho số phức \(z,\,{{z}_{1}},\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-4-5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1 \right|=1\) và \(\left| \overline{z}+4i \right|=\left| z-8+4i \right|\). Tính \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\,\,\) khi \(P=\left| z-{{z}_{1}} \right|\,+\left| z-{{z}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) là
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)}^{\frac{1}{3}}}\).
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.jpg.png)
-
Nghiệm của phương trình \({{3}^{x-1}}=27\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \({f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x+3 \right)\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho số phức z=-5+2i. Phần thực và phần ảo của số phức \(\bar{z}\) lần lượt là
-
Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng. Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát.
.png)
-
Diện tích toàn phần của hình trụ có độ dài đường cao h=4 và bán kính đáy r=2 bằng:
-
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
-
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3-2x}{x+1}\) là
-
Cho khối nón có thể tích \(V=4\pi \) và bán kính đáy r=2. Tính chiều cao h của khối nón đã cho.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có \(A\left( -1;1;6 \right), B\left( -3;-2;-4 \right), $C\left( 1;2;-1 \right), D\left( 2;-2;0 \right)\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a+b+c.
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+10y-6z+49=0\). Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) không âm, có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 0\,;\,1 \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1, \left[ 2f\left( x \right)+1-{{x}^{2}} \right]{f}'\left( x \right)=2x\left[ 1+f\left( x \right) \right], \forall x\in \left[ 0\,;\,1 \right]\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \(z=3+i\) là điểm nào trong hình vẽ dưới đây?
.jpg.png)
