Phương trình \({2^{x - 2 + \sqrt[3]{{m - 3x}}}} + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + m} \right){2^{x - 2}} = {2^{x + 1}} + 1\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m \in (a;b)\), đặt T = b2 - a2 thì:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({2^{x - 2 + \sqrt[3]{{m - 3x}}}} + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + m} \right){2^{x - 2}} = {2^{x + 1}} + 1\)
\( \Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{m - 3x}}}} + {\left( {x - 2} \right)^3} + 8 + m - 3x = {2^3} + {2^{2 - x}}\)
\(\Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{m - 3x}}}} + m - 3x = {2^{2 - x}} + {\left( {2 - x} \right)^3}\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t} + {t^3}\) trên R có \(f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 3{t^2} > 0,\forall t \in R\) nên hàm số liên tục và đồng biến trên R.
Do đó từ (1) suy ra \(m - 3x = {\left( {2 - x} \right)^3} \Leftrightarrow m = 8 - 9x + 6{x^2} - {x^3}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 8\) trên R có \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 12x - 9\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 1 \end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
.PNG)
Dựa vào bảng biến thiên ta có, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi 4 < m < 8.
Suy ra \(a = 4;{\rm{ }}b = 8 \Rightarrow T = {b^2} - {a^2} = 48\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' thể tích là V. Tính thể tích của tứ diện ACB'D' theo V.
-
Cho hình nón có đường sinh bằng 3, diện tích xung quanh bằng \(12\pi\). Bán kính đáy của hình nón là:
-
Biết \({\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} }=2\) và \({\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} } = -4\), khi đó \({\int\limits_0^1 [{f\left( x \right)} }+g(x)]dx\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(\angle SBA = {60^ \circ }\). Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CM} \). Tính khoảng cách giữa SM và AB.
-
Để quảng bá cho sản phẩm A, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy : nếu sau n lần quảng cáo được phát thì tỷ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức \(P\left( n \right) = \frac{1}{{1 + 49{e^{ - 0,015t}}}}\,\,\left( \% \right)\). Hỏi cần phát ít nhất bao nhiều lần quảng cáo để tỷ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 80% ?
-
Cho hàm số f(x) có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) và \(f'(x) = sinx.si{n^2}2x,\forall x \in R\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} \) bằng
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3;1;-1) trên trục Oy có tọa độ là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x \le 1\) là
-
Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức \(S = A.{e^{Nr}}\) (trong đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người.
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;0;1) và N(3;2;-1). Đường thẳng MN có phương trình chính tắc là
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có \(AC = a;BC = 2a,\,\,\widehat {ACB} = 120^\circ \). Gọi M là trung điểm của BB'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC' theo a.
-
Một người gửi 120 triệu đồng vào một ngân hàng theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,75% một quý. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu quý người đó nhận được số tiền nhiều hơn 150 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra. ( 3 tháng còn gọi là 1 quý).
-
Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, \(OC = a\sqrt 3 \). Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), \(OA = a\sqrt 3 \), gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.
-
Hàm số y = log2(x+3) xác định khi:
-
Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x là:
-
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng
-
Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh?
-
Thể tích của khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là
-
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình vẽ a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức T = a - 3b + 2c bằng:
.png)
-
Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình sau:
.png)
Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
