Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(\angle SBA = {60^ \circ }\). Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CM} \). Tính khoảng cách giữa SM và AB.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Trong (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với AM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại E ta được tứ giác ABEM là hình bình hành.
Vì ME / / AB ⇒ AB / / ( SME)
⇒ d (AB; SM ) = d ( AB; (SME)) = d (A; (SME))
Từ A trong mặt phẳng (ABEM) kẻ AK \(\bot\) ME , lại có
ME \(\bot\) SA (do SA \(\bot\) (ABEM )) ⇒ EK \(\bot\) (SAK)
Trong (SAK) kẻ AH \(\bot\) SK tại H
Ta có AH \(\bot\) SK; EK \(\bot\) AH (do EK \(\bot\) (SAK)) ⇒ AH \(\bot\) (SKE) tại H.
Từ đó d(AB; SM ) = d(A; (SME )) = AH
+ Xét tam giác SBA vuông tại A có \(SA = AB.\tan SBA = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\)
+ Lại có tam giác ABC vuông cân tại B nên \(AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 \Rightarrow CM = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó \(AM = AC + CM = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)
+ Tam giác ABC vuông cân tại B nên ACB = 45° ⇒ CBE = ACB = 45° (hai góc so le trong)
Từ đó ABE = ABC + CBE = 90° + 45° = 135° , suy ra AME = 135° (hai góc đối hình bình hành)
Nên tam giác AME là tam giác tù nên K năm ngoài đoạn ME.
Ta có KMA = 180° - AME = 45° mà tam giác AMK vuông tại K nên tam giác AMK vuông cân tại K
\( \Rightarrow AK = \frac{{AM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3a}}{2}\)
+ Xét tam giác SAK vuông tại A có đường cao AH, ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{9{a^2}}}{4}}} \Rightarrow AH = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}\)
Vậy \(d\left( {AB;SM} \right) = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, \(OC = a\sqrt 3 \). Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), \(OA = a\sqrt 3 \), gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.
-
Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức \(S = A.{e^{Nr}}\) (trong đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người.
-
Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh?
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3;1;-1) trên trục Oy có tọa độ là
-
Cho mặt cầu có diện tích bằng \(16\pi\). Bán kính mặt cầu đã cho bằng
-
Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng \(\sqrt3\) và thiết diện qua trục là tam giác đều bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 9x + 5\) nghịch biến trên R.
-
Cho hình trụ có đường cao bằng 8a. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ 3a, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({9^x} + {2.3^x} - 3 < 0\) là
-
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}\), x = 1, x = 2, y = 0 quanh trục Ox được tính bởi biểu thức nào sau đây?
-
Cho hình nón có đường sinh bằng 3, diện tích xung quanh bằng \(12\pi\). Bán kính đáy của hình nón là:
-
Với a là số thực dương tùy ý, log5a2 bằng:
-
Thể tích của khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là
-
Cho hình trụ có chiều cao bằng \(4\sqrt 2 \). Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng \(\sqrt2\), thiết diện thu được có diện tích bằng 16. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
-
Biết \({\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} }=2\) và \({\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} } = -4\), khi đó \({\int\limits_0^1 [{f\left( x \right)} }+g(x)]dx\) bằng
-
Cho hàm số f(x) có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) và \(f'(x) = sinx.si{n^2}2x,\forall x \in R\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} \) bằng
-
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình bên với \(a,b,c \in Z.\) Tính giá trị của biểu thức T = a - 3b + 2c?
.png)
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x \le 1\) là
-
Nghiệm của phương trình 22x-1 = 32 là
