Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(\angle SBA = {60^ \circ }\). Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CM} \). Tính khoảng cách giữa SM và AB.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Trong (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với AM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại E ta được tứ giác ABEM là hình bình hành.
Vì ME / / AB ⇒ AB / / ( SME)
⇒ d (AB; SM ) = d ( AB; (SME)) = d (A; (SME))
Từ A trong mặt phẳng (ABEM) kẻ AK \(\bot\) ME , lại có
ME \(\bot\) SA (do SA \(\bot\) (ABEM )) ⇒ EK \(\bot\) (SAK)
Trong (SAK) kẻ AH \(\bot\) SK tại H
Ta có AH \(\bot\) SK; EK \(\bot\) AH (do EK \(\bot\) (SAK)) ⇒ AH \(\bot\) (SKE) tại H.
Từ đó d(AB; SM ) = d(A; (SME )) = AH
+ Xét tam giác SBA vuông tại A có \(SA = AB.\tan SBA = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\)
+ Lại có tam giác ABC vuông cân tại B nên \(AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 \Rightarrow CM = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó \(AM = AC + CM = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)
+ Tam giác ABC vuông cân tại B nên ACB = 45° ⇒ CBE = ACB = 45° (hai góc so le trong)
Từ đó ABE = ABC + CBE = 90° + 45° = 135° , suy ra AME = 135° (hai góc đối hình bình hành)
Nên tam giác AME là tam giác tù nên K năm ngoài đoạn ME.
Ta có KMA = 180° - AME = 45° mà tam giác AMK vuông tại K nên tam giác AMK vuông cân tại K
\( \Rightarrow AK = \frac{{AM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3a}}{2}\)
+ Xét tam giác SAK vuông tại A có đường cao AH, ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{9{a^2}}}{4}}} \Rightarrow AH = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}\)
Vậy \(d\left( {AB;SM} \right) = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Để quảng bá cho sản phẩm A, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy : nếu sau n lần quảng cáo được phát thì tỷ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức \(P\left( n \right) = \frac{1}{{1 + 49{e^{ - 0,015t}}}}\,\,\left( \% \right)\). Hỏi cần phát ít nhất bao nhiều lần quảng cáo để tỷ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 80% ?
-
Cho hình trụ có đường cao bằng 8a. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ 3a, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng
-
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x \le 1\) là
-
Thể tích của khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là
-
Cho cấp số cộng (un) xác định bởi u1 = -1, công sai d = 2. Giá trị u5 bằng:
-
Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x là:
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
.png)
Đặt g(x) = f[f(x)] Tìm số nghiệm của phương trình g'(x) = 0
-
Có 4 hành khách lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người là?
-
Với a là số thực dương tùy ý, log5a2 bằng:
-
Thể tích của khối lập phương cạnh 3 bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-3;3] sao cho \(M \le 2m\)?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
.PNG)
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3;1;-1) trên trục Oy có tọa độ là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 9x + 5\) nghịch biến trên R.
-
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}\), x = 1, x = 2, y = 0 quanh trục Ox được tính bởi biểu thức nào sau đây?
-
Phương trình \({2^{x - 2 + \sqrt[3]{{m - 3x}}}} + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + m} \right){2^{x - 2}} = {2^{x + 1}} + 1\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m \in (a;b)\), đặt T = b2 - a2 thì:
-
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và AC = 2a. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AC thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
-
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình bên với \(a,b,c \in Z.\) Tính giá trị của biểu thức T = a - 3b + 2c?
.png)
-
Nghiệm của phương trình 22x-1 = 32 là
