Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào GARA ôtô nhà cô Hiền. Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng x (m), đoạn đường thẳng vào cổng GARA có chiều rộng 2,6 (m). Biết kích thước xe ôtô là 5m × 1,9m (chiều dài × chiều rộng). Để tính toán và thiết kế đường đi cho ôtô người ta coi ôtô như một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài 5 m, chiều rộng 1,9 m. Hỏi chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau để ôtô có thể đi vào GARA được? (giả thiết ôtô không đi ra ngoài đường, không đi nghiêng và ôtô không bị biến dạng).

A. x = 3,55 (cm)

B. x = 2,6 (cm)

C. x = 4,27 (cm)

D. x = 3,7 (cm)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

- Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

Khi đó: \(M\left( { - 2,6;m} \right)\). Gọi \(B\left( { - a;0} \right) \Rightarrow A\left( {0;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\)

Suy ra phương trình AB là: \(\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} = 1\)

Do CD//AB nên phương trình CD là: \(\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - k = 0\)

Khoảng cách giữa AB và CD là chiều rộng của ôtô và bằng 1,9 m nên:

\(\frac{{\left| {k - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1,9 \Leftrightarrow k = 1 + \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}\)

Điều kiện để ô tô đi qua được là M và O nằm khác phía đối với đường thẳng CD

Suy ra: \(\frac{{2,6}}{a} + \frac{m}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \ge \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9,5}}{a} - \frac{{2,6.\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) (đúng với mọi \(a \in \left( {0;5} \right]\) ).

- Xét hàm số: \(f\left( a \right) = \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9,5}}{a} - \frac{{2,6.\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) trên nửa khoảng (0; 5].

Có \(f'\left( a \right) = - \frac{a}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - \frac{{9,5}}{{{a^2}}} + \frac{{65}}{{{a^2}\sqrt {25 - {a^2}} }} = \frac{{65 - 9,5.\sqrt {25 - {a^2}} - {a^3}}}{{{a^2}\sqrt {25 - {a^2}} }}\)

\( \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3 \in \left( {0;5} \right)\)

BBT: