Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} + 2mx + {m^2} - 3\) với trục tung (m là tham số). Xác định giá trị của m sao cho tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng có phương trình \(y = \frac{1}{4}x + 5\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y = \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} + 2mx + {m^2} - 3\). Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {m^2} - 3 \Rightarrow M\left( {0;{m^2} - 3} \right)\)
\(y' = \frac{{\sqrt {x + 1} - x.\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}}}{{x + 1}} + 2m = \frac{{x + 2}}{{2\sqrt {x + 1} \left( {x + 1} \right)}} + 2m \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 1 + 2m\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng \(y = \frac{1}{4}x + 5\).
\( \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 + 2m = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = - \frac{3}{8}\)
Với \(m = - \frac{3}{8}\), phương trình tiếp tuyến đó là: \(y = \frac{1}{4}.\left( {x - 0} \right) + {\left( { - \frac{3}{8}} \right)^2} - 3 \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}x - \frac{{183}}{{64}}\) (thỏa mãn)
Vậy, \(m = - \frac{3}{8}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Quốc học Huế lần 2