Cho hàm số $y = x + p + \frac{q}{{x + 1}}$ đạt cực đại tại điểm $A\left( { - 2; - 2} \right)$. Tính pq.

Hàm số nào trong các hàm số sau đây đồng biến trên khoảng (1;3)?

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = 5$ và $\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)} dx = 1$. Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx$.

Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và $SA = SB = SC = a$. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua P. I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.

Có bao nhiêu giá  trị nguyên của tham  số  m  thuộc đoạn [-15;5] để phương  trình ${4^x} + m{2^x} + 2m - 4 = 0$ có nghiệm?

Cho hình đa diện như hình vẽ, trong đó các cạnh AA’, BB’, CC’ đều vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh a và $AA' = BB' = \frac{1}{2}CC' = a$. Tính theo a thể tích V của khối đa diện đó.

Xác định tập nghiệm S của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x - 3}} \ge 3.$ 

Tung đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để số chấm suất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 6 = 0$. Xác định bán kính R của mặt cầu.

Cho a, b là các số thực dương, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó theo a.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;0;6) và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình là $x + 2y + 2z - 1 = 0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \beta  \right)$ đi qua M và song song với $\left( \alpha  \right)$.

Xác định hệ số của $x^{13}$ trong khai triển của ${\left( {x + 2{x^2}} \right)^{10}}.$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {a + 4b} \right)x + 2\left( {a - b + c} \right)y + 2\left( {b - c} \right)z + d = 0$, tâm I nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cố định. Biết rằng $4a + b - 2c = 4$, tìm khoảng cách từ điểm D(1;2;- 2) đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Gọi S là tổng các giá trị của tham số $m < 0$ thỏa mãn giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1;2] của hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 2m{x^2} - 4{m^2}x + 100$ bằng 12. Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau đây:

Cho parabol (P) có phương trình $y = 2{x^2} - 3x - 1$. Tịnh tiến parabol (P) theo vectơ $\overrightarrow v  = \left( { - 1;4} \right)$ thu được đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình $2x + y - z - 1 = 0$ và mặt cầu (S) có phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4.$ Xác định bán kính r của đường tròn là giao tuyến của $\left( \alpha  \right)$ và mặt cầu (S).

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 26 cm và $\frac{{\sin A}}{2} = \frac{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }}{6} = \frac{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }}{5}$. Tính diện tích tam giác ABC.

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {{x^3} - 3x + m} \right|$ trên đoạn [0;2] bằng 3. Tập hợp S có bao nhiêu phần tử?

Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} + 2mx + {m^2} - 3$ với trục tung (m là tham số). Xác định giá trị của m sao cho tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng có phương trình $y = \frac{1}{4}x + 5$.

Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác vuông tại B, BC = a. Hai mặt phẳng (SCA) và (SBC) hợp với nhau một góc 60⁰  và góc \(BSC = {45^0}\). Tính côsin của góc $\alpha  = ASB$