Giả sử đồ thị hàm số \(y = ({m^2} + 1){x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + 1\) có 3 điểm cực trị là A, B, C mà \({x_A} < {x_B} < {x_c}\). Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của \(m\) để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}
y' = 4\left( {{m^2} + 1} \right){x^3} - 4mx = 4x\left[ {\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - m} \right]\\
+ y'\left( 0 \right)4x\left[ {\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - m} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} \left( {m > 0} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
+ Với m > 0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với \(x_A, x_B, x_C\)) là:
\(A\left( { - \sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} ; - \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}} + {m^2} + 1} \right);B\left( {0;{m^2} + 1} \right);C\left( {\sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} ; - \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}} + {m^2} + 1} \right)\)
+ Quay tam giác ABC quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là:
\(V = 2.\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{2}{3}\pi B{I^2}.IC = \frac{2}{3}\pi {\left( {\frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}} \right)^2}\sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} = \frac{2}{3}\pi \sqrt {\frac{{{m^9}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^5}}}} \)
+ Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{m^9}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^5}}}\)
Có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{m^8}\left( {9 - {m^2}} \right)}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^6}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow m = 3\left( {m > 0} \right)\)
Ta có BBT:
.PNG)
Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m = 3
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 1\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)
-
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{5}}}\) là:
-
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đối xứng với đồ thị của hàm số \(y = {a^x}\,(a > 0,\,a \ne 1)\) qua điểm \(I\left( {1;\,1} \right)\). Giá trị của biểu thức \(f\left( {2 + {{\log }_a}\frac{1}{{2018}}} \right)\) bằng
-
Một nhóm có 10 người, cần chọn ra ban đại diện gồm 3 người. Số cách chọn là:
-
Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng \(15\pi \). Tính thể tích V của khối nón (N).
-
Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} - (2m + 1){x^2} + (3 - m)x + 2\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = f(\left| x \right|)\) có 3 điểm cực trị.
-
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?
.png)
-
Hình lập phương có mấy mặt phẳng đối xứng ?
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn.
-
Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{4^x} - {2^x} + m} \right)\) có tập xác định là R thì
-
Cho phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right).\) Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) của phương trình trên.
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm \(A\left( {3; - 5} \right),B\left( { - 3;3} \right),C\left( { - 1; - 2} \right),D\left( {5; - 10} \right).\) Hỏi \(G\left( {\frac{1}{3}; - 3} \right)\) là trọng tâm của tam giác nào dưới đây?
-
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
-
Giải phương trình \(8.\cos 2x.\sin 2x.\cos 4x = - \sqrt 2 .\)
-
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành chính nó?
-
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?
-
Cho tứ diện ABCD có \(AB = AC,DB = DC.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Một hình trụ có bán kính đáy \(r=a\), độ dài đường sinh \(l=2a\). Diện tích toàn phần của hình trụ này là:
-
Cho tứ diện ABCD. Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AB và BC, N là điểm thuộc đoạn CD sao cho CD= 2 ND. Gọi P là giao điểm của AD với mặt phẳng (KLN) Tính tỷ số \(\frac{{PA}}{{PD}}.\)
