Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số\(y=\left| {{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+3x-20 \right|\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+3x-20\)
\({f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}-2mx+3\)
Ta thấy \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \) nên hàm số \(y=\left| f\left( x \right) \right|\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\) khi và chỉ khi hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\) và hàm số không dương trên miền \(\left( -\infty ;-2 \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ f\left( { - 2} \right) \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{x^4} + 8{x^3} - 2mx + 3 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ - 4m - 26 \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{x^3} + 8{x^2} + \frac{3}{x} \le 2m{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ m \ge - \frac{{13}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Xét hàm số \(g\left( x \right)=5{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+\frac{3}{x}\) trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\)
\({g}'\left( x \right)=15{{x}^{2}}+16x-\frac{3}{{{x}^{2}}}={{\left( 2x+4 \right)}^{2}}+11{{x}^{2}}-16-\frac{3}{{{x}^{2}}}\)
Ta có \({{\left( 2x+4 \right)}^{2}}>0,\text{ }11{{x}^{2}}>44,\text{ }\frac{3}{{{x}^{2}}}<\frac{3}{4}\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\)
Suy ra \({g}'\left( x \right)>0+44-16-\frac{3}{4}\text{ 0 }\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\)
.PNG)
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(5{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+\frac{3}{x}\le 2m\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\)\( \Leftrightarrow -\frac{19}{2}\le 2m\)\( \Leftrightarrow m\ge -\frac{19}{4}.\)
Kết hợp với \(m\ge -\frac{13}{2}\) ta có \(m\ge -\frac{19}{4}.\)
Do đó \(m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}\)
Suy ra có 4 giá trị nguyên âm thỏa mãn đề bài.
Chọn A
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Lam Sơn
