Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thỏa mãn \({{2.3}^{x-1}}-{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-2}}+2y \right)=6y-x\,+1\) và \({{2022}^{-1}}\le y\le 2022\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Điều kiện \({{3}^{x-2}}+2y>0\).
+ Phương trình tương đương: \({{2.3}^{x-1}}-{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)=6y-x\,\,\,\left( * \right)\).
+ Đặt: \(u={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)\Rightarrow {{3}^{x-1}}+6y={{3}^{u}}\) \(\Rightarrow 6y={{3}^{u}}-{{3}^{x-1}}\).
Ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{2.3}^{x-1}}-u={{3}^{u}}-{{3}^{x-1}}-x\)
\(\Leftrightarrow {{3.3}^{x-1}}+x={{3}^{u}}+u\)\(\Leftrightarrow {{3}^{x}}+x={{3}^{u}}+u\).
+ Hàm \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên
\({{3}^{x}}+x={{3}^{u}}+u\Leftrightarrow x=u\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)\)
\(\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+6y={{3}^{x}}\)\(\Leftrightarrow y={{3}^{x-2}}\) (thỏa đk \({{3}^{x-2}}+2y>0\)).
+ Do \({{2022}^{-1}}\le y\le 2022\) nên \({{2022}^{-1}}\le {{3}^{x-2}}\le 2022\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{2022}^{-1}}\le x-2\le {{\log }_{3}}2022\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{2022}^{-1}}+2\le x\le {{\log }_{3}}2022+2\)
\(\Rightarrow -5
+ Do \(x\) nguyên, suy ra \(x\in \{-4;-3;....;8\}\).
\(x\in \{-4;-3;-2;-1;0;1\}\) suy ra \(y\) không nguyên do \(0
\(x\in \{2;3;4;5;6;7;8\}\) suy ra \(y\) nguyên do \(y\in \{{{3}^{0}};{{3}^{1}};{{3}^{2}};{{3}^{3}};{{3}^{4}};{{3}^{5}};{{3}^{6}}\}\).
+ Vậy có 7 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thỏa YCBT.
Chọn C
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Minh Đức
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+2y+z-1=0\) và \(\left( \beta \right):x-y-z+2=0\) có phương trình là?
-
Điểm \(M\) trong hình bên dưới biểu diễn số phức nào?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):3x+y-2z+1=0\). Vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của \((P)\)?
-
Họ nguyên hàm của của hàm số sau đây \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x\) là?
-
Cho các số phức \(w,\,z\) thỏa mãn \(\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\). GTLN của biểu thức \(P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|\) bằng?
-
Cho khối nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy 2 điểm \(A,B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông. Biết diện tích tam giác \(SAB\) bằng \(\sqrt{2}{{R}^{2}}\). Thể tích khối nón đã cho bằng?
-
Tính số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là?
-
Hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x+1\) nghịch biến trên khoảng nào?
-
Cho hàm số bậc 3 \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình:
Số nghiệm của phương trình \(f\left[ f\left( x \right) \right]=0\) là?
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB=1,AD=AA'=\sqrt{3}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(BC\). Góc giữa 2 đường thẳng \(MN\) và \(AC\) bằng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(k\) là một số thực khác 0. Khẳng định nàođúng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(a\) là số thực dương. Khẳng định nào đúng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 3;\,-1;\,2 \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left( 4;\,5;\,-7 \right)\) có phương trình là?
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình sau \({{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{4}}\left( 14-2x \right)\ge 0\) là?
-
Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong như hình?
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\frac{3}{2}\) và \(f(0)=0\). Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\in \left( -2021\,;\,2022 \right)\) để hàm số \(g(x)=\left| {{f}^{2}}(x)+2f(x)+m \right|\) có đúng 3 điểm cực trị?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{3}^{x}}=7\) là?
-
TXĐ của hàm số \(y={{x}^{\sqrt{5}}}\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu tâm \(I\left( 1\,;\,0\,;\,-2 \right)\) và bán kính \(R=4\) có phương trình là?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\)biết \({{u}_{1}}=5,\,{{u}_{2}}=8\). Giá trị của \({{u}_{4}}\) bằng?
