Cho các số phức \(w,\,z\) thỏa mãn \(\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\). GTLN của biểu thức \(P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi \(z=x+yi\,\,\left( x,\,y\in \mathbb{R} \right)\) khi đó \(M\left( x;\,y \right)\) biểu diễn cho số phức \(z\).
Theo đề bài: \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\)
\(\begin{align} & \Leftrightarrow 5\left( w+i \right)=\left( 2+i \right)z-\left( 8-i \right)\\ &\Leftrightarrow \left| 5\left( w+i \right) \right|=\left| \left( 2+i \right)z-\left( 8-i \right) \right| \\ & \Leftrightarrow \left| \left( 2-i \right)\left( w+i \right) \right|=\left| z-\left( 3-2i \right) \right|\\ &\Leftrightarrow \left| z-\left( 3-2i \right) \right|=3. \\ \end{align}\)
Suy ra \(M\left( x;\,y \right)\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( 3;\,-2 \right)\) và bán kính \(R=3\).
Ta có \(P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|=\left| z-\left( 1+2i \right) \right|+\left| z-\left( 5+2i \right) \right|=MA+MB\) với \(A\left( 1;\,2 \right)\) và \(B\left( 5;\,2 \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) suy ra \(E\left( 3;\,2 \right)\) và \(IE=4\) (\(E\) nằm ngoài \(\left( I \right)\)).
\(P=MA+MB\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}\)\( =\sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}\)\( =\sqrt{4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}\)\( =\sqrt{4M{{E}^{2}}+16}\).
Biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất khi độ dài \(ME\) lớn nhất hay \(M,\,I,\,E\) thẳng hàng.
Khi đó \(M{{E}_{\max }}=IE+IM=7\) và \(\overrightarrow{IM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{EI}\Rightarrow M\left( 3;-5 \right)\).
Vậy biểu thức \({{P}_{\max }}=\sqrt{{{4.7}^{2}}+16}=2\sqrt{53}\) khi \(z=3-5i\) và \(w=\frac{3}{5}-\frac{11}{5}i\).
Chọn B
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Minh Đức
Câu hỏi liên quan
-
Tính thể tích của khối cầu có bán kính \(R\)?
-
Tính giá trị của \(\int\limits_{2}^{5}{\frac{1}{x}\text{d}x}\) bằng?
-
Hỏi tất cả có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{9}^{x}}-{{10.3}^{x+2}}+729 \right)\sqrt{2\ln 30-\ln \left( 9x \right)}\ge 0\)?
-
Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong như hình?
-
Họ nguyên hàm của của hàm số sau đây \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x\) là?
-
Cho khối nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy 2 điểm \(A,B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông. Biết diện tích tam giác \(SAB\) bằng \(\sqrt{2}{{R}^{2}}\). Thể tích khối nón đã cho bằng?
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình sau \({{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{4}}\left( 14-2x \right)\ge 0\) là?
-
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B=6\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích V của khối chóp đã cho bằng?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị là đường cong như hình:
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm nào?
-
Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS \(y={{x}^{2}}-4x+4\), trục hoành và trục tung. Đường thẳng \(d\) qua \(A\left( 0\,;\,4 \right)\) và có hệ số góc \(k\,\,\left( k\in \mathbb{R} \right)\) chia hình \(\left( H \right)\) thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của \(k\) bằng?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\)biết \({{u}_{1}}=5,\,{{u}_{2}}=8\). Giá trị của \({{u}_{4}}\) bằng?
-
Tính số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 3;\,-1;\,2 \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left( 4;\,5;\,-7 \right)\) có phương trình là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=4\) và hai điểm \(A(1\,;\,2\,;\,4)\), \(B(0\,;\,0\,;\,1)\). Mặt phẳng \((P):ax+by+cz+3=0\) \((a,b,c\in \mathbb{R})\) đi qua \(A,B\) và cắt \((S)\) theo giao tuyến là 1 đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của \(a+b+c\) bằng?
-
Cho hàm số sau \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\). Hàm số đạt CĐ tại điểm?
-
Trong không gian \(Oxyz\), giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+2y+z-1=0\) và \(\left( \beta \right):x-y-z+2=0\) có phương trình là?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0\,;\,2 \right]\) và thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=6\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 2\sin x \right)\cos x\text{d}x\,}\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?
-
Trên tập hợp số phức, biết \({{z}_{0}}=3-2i\) là một nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+az+b=0\)(với \(a,\,\,b\in \mathbb{R}\)). Tính giá trị của \(a+b\) bằng?
-
Cho số phức \(z={{\left( 1+2i \right)}^{2}}\). Gía trị của số phức \(\frac{z}{i}\) bằng?
