Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {{Z}^{2}} \right|=\left| Z-\overline{Z} \right|\) và \(\left| \left( Z-2 \right)\left( \overline{Z}-2i \right) \right|={{\left| Z+2i \right|}^{2}}\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}
\left| {\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z - 2i} \right)} \right| = {\left| {z + 2i} \right|^2} \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right|\left| {\overline z - 2i} \right| = \left| {z + 2i} \right|\left| {\overline z - 2i} \right|\\
\Leftrightarrow \left| {\overline z - 2i} \right|.\left( {\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right|} \right)
\end{array}\)
TH1: \(\left| {\overline z - 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \overline z = 2i \Leftrightarrow z = - 2i\)
TH2: \(\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right| = \left| {z + 2i} \right| = 0\)
Đặt z = x + yi ta có z - 2 = x - 2 + y.i và z + 2i = x + (y + 2).i
Khi đó
\(\begin{array}{l}
\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right| \Leftrightarrow {\left( {z - 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\
\Leftrightarrow - 4x = 4y \Leftrightarrow x = - y
\end{array}\)
Lại có
\(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \overline z } \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2\left| y \right| \Leftrightarrow 2{y^2} = 2\left| y \right| \Leftrightarrow 2\left| y \right|.\left( {\left| y \right| - 1} \right) = 0\).
⇔ y = 0 hoặc \(y = \pm 1\)
Do đó ta có các số z \(\in\) {0; 1; -i; -1+i; -2i} thỏa mãn
Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3). Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng x - 2y + 2z + 3 = 0 là:
-
Gọi \({z_1},{\rm{ }}{z_2}\) là hai nghiệm phức của chương trình \({{z}^{2}}-2z+5=0\). Khi đó \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\) bằng
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 3 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC'A') bằng
.JPG)
-
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) Biết rằng hàm số \(g(x)=\ln (f(x))\) có bảng biển thiên như sau:
.JPG)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Có bao nhiều giá trị nguyên âm của tham số a để hàm số \(y=\left| {{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x \right|\) có đúng ba điểm cực trị?
-
Hàm số F(x) = cotx là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đâu trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng y = 1 là
-
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên \(\text{AA}'=2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \text{A}'BC \right)\) và (ABC) bằng 300. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120° và chiều cao bằng 3. Gọi (S) là mặt cầu đi qua đỉnh chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của (S) bằng
-
Cho \(a={{3}^{\sqrt{5}}},b={{3}^{2}}\) và \(c={{3}^{\sqrt{6}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn [30;50]. Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng
-
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
-
Xét tất cả các số thực x, y sao cho \({{25}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}}}^{{{a}^{3}}}\) với mọi số thực dương a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+8y\) bằng
-
Cho khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng bằng nhau và có thể tích lần lượt là \(V_1, V_2\). Tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\) bằng
-
Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 2) Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Phương trình của (P) là
-
Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thảo mãn \(({4^b} - 1)(a{.3^{b\;\;}} - 10) < 0\)?
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{3}\) Điểm nào dưới đây thuộc d?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=4\). Tâm của (S) có toạ độ là
-
Cho các số phức \({{Z}_{1}},{{Z}_{2}},{{Z}_{3}}\) thỏa mãn \(2\left| {{Z}_{1}} \right|=2\left| {{Z}_{2}} \right|=\left| {{Z}_{3}} \right|=2\) và \(\left( {{Z}_{1}}+{{Z}_{2}} \right){{Z}_{3}}=3{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}\) Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của \({{Z}_{1}},{{Z}_{2}},{{Z}_{3}}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng
