Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên \(\text{AA}'=2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \text{A}'BC \right)\) và (ABC) bằng 300. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKẻ AH \(\bot\) BC, ta có AA' \(\bot\) ( ABC) nên AA' \(\bot\) BC
AH \(\bot\) BC và AA' \(\bot\) BC suy ra BC \(\bot\) (AA' H) => A'H \(\bot\) BC
Suy ra góc giứa (A'BC) và (ABC) là \(\widehat {A'HA} = > \widehat {A'HA} = {30^0}\)
\(\Delta A'AH\) vuông tại A có
\(\tan \widehat {A'AH} = \frac{{AA'}}{{AH}} = > \tan {30^0} = \frac{{2a}}{{AH}} \Leftrightarrow AH = \frac{{2a}}{{\tan {{30}^0} = 2a\sqrt 3 }}\)
\(\Delta ABC\) vuông cân tại A nên BC = 2AH = \(4a\sqrt 3 \)
\(= > {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}2a\sqrt 3 .4a\sqrt 3 = 12{a^2} \)
Vậy \(V = {S_{ABC}}.AA' = 12{a^2}.2a = 24{a^3}\)