Có bao nhiêu số phức z đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| z+i \right|=2\) và \({{\left( z-2 \right)}^{4}}\) là một số thực?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử số phức z=a+bi, \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\).
Ta có \(\left| z+i \right|=2\Leftrightarrow \left| a+\left( b+1 \right)i \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4 \left( 1 \right)\)
\({{\left( z-2 \right)}^{4}}={{\left[ \left( a-2 \right)+bi \right]}^{4}}={{\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}+2b\left( a-2 \right)i \right]}^{2}}\)
\(={{\left( a-2 \right)}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}+4b{{\left( a-2 \right)}^{3}}i-4{{b}^{3}}\left( a-2 \right)i\)
\(={{\left( a-2 \right)}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}+4b\left( a-2 \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{b}^{2}} \right]i\)
Vì \({\left( {z - 2} \right)^4}\) là một số thực nên \(4b\left( {a - 2} \right)\left[ {{{\left( {a - 2} \right)}^2} - {b^2}} \right] = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a - 2 = b\\ a - 2 = - b \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a = b + 2\\ a = 2 - b \end{array} \right.\)
+) b = 0 thay vào (1) ta có \({a^2} + 1 = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a = \sqrt 3 \\ a = - \sqrt 3 \end{array} \right.\). Có số phức \(\left[ \begin{array}{l} z = \sqrt 3 \\ z = - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
+) a = 2 thay vào (1) ta có \({2^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow b = - 1\). Có số phức z = 2 - i
+) a = b + 2 thay vào (1) ta có \({\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow 2{b^2} + 6b + 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = \frac{{ - 3 - \sqrt 7 }}{2}\\ b = \frac{{ - 3 + \sqrt 7 }}{2} \end{array} \right.\).
Có 2 số phức thỏa mãn
+) a = -b + 2 thay vào (1) ta có \({\left( { - b + 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow 2{b^2} - 2b + 1 = 0\) (Vô nghiệm )
Vậy có 5 số phức thỏa mãn.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+3.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 1;-2;0 \right), B\left( 2;-1;3 \right), C\left( 0;-1;1 \right)\). Đường trung tuyến AM của tam giác ABC có phương trình là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
.PNG)
-
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B=10\,\left( {{\text{m}}^{2}} \right)\) và chiều cao \(h=6\,\left( \text{m} \right)\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Thể tích khối hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) với \(AB=2,\,AD=3,\,AA'=4\) bằng
-
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là lẻ bằng
-
Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả banh. gọi S1 là tổng diện tích của ba quả banh, S2 là diện tích xung quanh hình trụ. Tỷ số diện tích \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là:
-
Cho a, b là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2-i\) và \({{z}_{2}}=7-3i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}\).
-
Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=2\) và \(\left| {{z}_{2}} \right|=3,\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{17}\). Gọi M,m lần lượt là các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(T=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-10-12i \right|\). Khi đó M.n bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 2;0;0 \right), B\left( 0;4;0 \right), C\left( 0;0;6 \right)\). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON=2020. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\) cố định. Đường thẳng đi qua \(D\left( 0;202;10 \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo một dây cung EF,khi đó EF có độ dài ngắn nhất là.
-
Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 3{x^2};x \ge 1\\ 5 - x\,;x < 1 \end{array} \right.\). Tính \(I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x + 3\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right){\rm{d}}x} } \).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( 2\,;2;\,0 \right), B\left( 1;0;2 \right), C\left( 0;4;4 \right)\). Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới:
.PNG)
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( O{A}'{B}' \right)\) và \(\left( O{C}'{D}' \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(y={{x}^{2}}-mx \left( 0<m<2020 \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \({{S}_{1}}+{{S}_{2}}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\), trục hoành, trục tung và đường thẳng x=2020. Giá trị của m sao cho \({{S}_{2}}={{S}_{1}}\) là
.PNG)
-
Cho \(\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{-1}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-1\). Tính \(I=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f\left( x \right)+3g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2y+4z+2=0.\) Độ dài đường kính của mặt cầu (S) bằng
-
Người ta muốn xây một cái bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích \(\frac{500}{3}{{m}^{3}}\). Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/\({{m}^{3}}\). Nếu biết xác định kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất, chi phí thấp nhất đó là.
