Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y=2x+\frac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\) có điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị thuộc hình nón tâm O, bán kính \(\sqrt{68}\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y=2x+\frac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\Rightarrow {y}'=2+\frac{m\sqrt{{{x}^{2}}+2}-\frac{m{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}}{{{x}^{2}}+2}=2+\frac{2m}{\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\)
\(\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow m=-\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2}\)
Gọi A (x;y) là điểm cực trị ta có \(y=2x+\frac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}=2x-x\left( {{x}^{2}}+2 \right)=-{{x}^{3}}\Rightarrow A\left( x;-{{x}^{3}} \right).\)
Yêu cầu bài toán \(\Rightarrow OA\le \sqrt{68}\Leftrightarrow {{x}^{6}}+{{x}^{2}}-68\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le 4\Leftrightarrow -2\le x\le 2\)
\(f\left( x \right)=-\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2},x\in \left[ -2;2 \right]\)
\({f}'\left( x \right)=-2x\sqrt{{{x}^{2}}+2}-\left( {{x}^{2}}+2 \right)\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}=\frac{-3{{x}^{3}}-6x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0\)
Bảng biến thiên:
Để hàm số có cực trị thoả yêu cầu bài toán thì \(-6\sqrt{6}\le m\le -2\sqrt{2}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi lần 2