Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^4} + mx - \dfrac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(y' = {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}}\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x > 0 \Leftrightarrow {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}} \ge 0\,\,\forall x > 0 \Leftrightarrow {x^3} + \dfrac{3}{{2{x^2}}} \ge - m\,\,\forall x > 0\).
Đặt \(g\left( x \right) = {x^3} + \dfrac{3}{{2{x^2}}} \Rightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\)
Ta có \(g\left( x \right) = {x^3} + \dfrac{3}{{2{x^2}}} = \dfrac{{{x^3}}}{2} + \dfrac{{{x^3}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}} + \dfrac{1}{{2{x^2}}} + \dfrac{1}{{2{x^2}}}\mathop \ge \limits^{Co - si} 5\sqrt[5]{{\dfrac{{{x^3}}}{2}.\dfrac{{{x^3}}}{2}.\dfrac{1}{{2{x^2}}}.\dfrac{1}{{2{x^2}}}.\dfrac{1}{{2{x^2}}}}}\)
Suy ra \(g\left( x \right) \ge \dfrac{5}{2}\). Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{{{x^3}}}{2} = \dfrac{1}{{2{x^2}}} \Rightarrow {x^5} = 1 \Leftrightarrow x = 1\) (TM)
Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow x = 1\), suy ra \( - m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) \Leftrightarrow - m \le \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{5}{2}\)
Nên các giá trị nguyên âm của \(m\) thỏa mãn đề bài là \(m = - 2;m = - 1.\)
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Huỳnh Văn Nghệ
