Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn\(0\le x\le 2020\) và \({{\log }_{3}}(3x+3)+x=2y+{{9}^{y}}\) ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Ta có: \({{\log }_{3}}\left( 3x+3 \right)+x=2y+{{9}^{y}}\,\Leftrightarrow 1+\,{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\,+x=2y+{{9}^{y}}\,\,\left( 1 \right)\)
+ Đặt \(t={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\). Suy ra: \(x+1={{3}^{t}}\Leftrightarrow x={{3}^{t}}-1\)
Khi đó: \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow t+{{3}^{t}}=2y+{{3}^{2y}}\,\left( 2 \right)\)
Xét hàm số: \(f\left( h \right)=h+{{3}^{h}}\), ta có: \({f}'\left( h \right)=1+{{3}^{h}}.\ln 3\,>0\,\forall h\in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( h \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Do đó: \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 2y \right)\Leftrightarrow t=2y\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=2y\Leftrightarrow x+1={{3}^{2y}}\Leftrightarrow x+1={{9}^{y}}\)
+ Do \(0\le x\le 2020\) nên \(1\le x+1\le 2021\Leftrightarrow 1\le {{9}^{y}}\le 2021\Leftrightarrow 0\le y\le {{\log }_{9}}2021\approx 3,46\)
Do \(y\in \mathbb{Z}\) nên \(y\in \left\{ 0;\,1;\,2;\,3 \right\}\), với mỗi giá trị y cho ta 1 giá trị x thoả đề.
Vậy có 4 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thoả đề.
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, \(BD=\sqrt{3}a\) và AA’ = 4a (minh họa như hình bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
.PNG)
-
Trong không gian Oxyz, cho các vecto \(\overrightarrow{a}=(1;0;3)\) và \(\overrightarrow{b}=(-2;2;5)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\) bằng
-
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB = 2a, AD = DC = CB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a (minh họa như hình bên). Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB vad DM bằng
.PNG)
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=-{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+1\) trên đoạn [-1; 2] bằng
-
Cho hình nón có chiều cao bằng \(2\sqrt{5}\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng \(9\sqrt{3}\). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên
.PNG)
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{2}{f(x)}dx=-2\) và \(\int\limits_{2}^{3}{f(x)}dx=1\) thì \(\int\limits_{1}^{3}{f(x)}dx\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; -2; 1) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) trên khoảng \((1;+\infty )\) là
-
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hìn trụ đã cho bằng
-
Cho hàm số \(f(x)=\frac{mx-4}{x-m}\) (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\) ?
-
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{5{{x}^{2}}-4x-1}{{{x}^{2}}-1}\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I(0; 0; -3) và đi qua điểm M(4; 0; 0). Phương trình của (S) là
-
Cho hàm số f(x). Hàm số y =f’(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(g(x)=f(1-2x)+{{x}^{2}}-x\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
.PNG)
-
Cho hàm số y = f(x) có bằng biến thiên như sau:
.PNG)
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số b\(f(x)=|{{x}^{3}}-3x+m|\) trên đoạn [0; 3] bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
-
Cho cấp số nhân \(({{u}_{n}})\) với \({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{2}}=6\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
-
Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn \({{\log }_{2}}a={{\log }_{8}}(ab)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng
-
Trong không gian Oxyz , vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M(2; 3; -1) và N(4; 5; 3)?
