Cho \(x,y\) là các số thực thay đổi nhưng luôn thỏa mãn \({\left( {x + 2y} \right)^3} + 8xy \ge 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 8{x^4} + \dfrac{1}{2}\left( {{y^4} - 2xy} \right)\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}P = 8{x^4} + \dfrac{1}{2}\left( {{y^4} - 2xy} \right) \Leftrightarrow P = \dfrac{{16{x^4} + {y^4} - 2xy}}{2}\\ \Rightarrow P = \dfrac{{{{\left( {4{x^2}} \right)}^2} - 2.4{x^2}.{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2} + 8{x^2}{y^2} - 2xy}}{2}\\ \Rightarrow P = \dfrac{{{{\left( {4{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + 8{x^2}{y^2} - 2xy}}{2} \ge 4{x^2}{y^2} - xy\\ \Rightarrow P \ge {\left( {2xy} \right)^2} - 2.2xy.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{16}} = {\left( {2xy - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - \dfrac{1}{{16}} \ge \dfrac{{ - 1}}{{16}}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} = {y^2}\\2xy = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2x = y\\2x = - y\end{array} \right.\\xy = \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} = \dfrac{1}{8}\\ - 2{x^2} = \dfrac{1}{8}\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4} \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{{ - 1}}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)
Thử lại với \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\) ta có \({\left( {x + 2y} \right)^3} + 8xy \ge 2\) thỏa mãn.
Thử lại với \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{ - 1}}{4};\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\) ta có \({\left( {x + 2y} \right)^3} + 8xy \ge 2\) không thỏa mãn.
Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\), khi đó \({P_{\min }} = - \dfrac{1}{{16}}\).
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC = a,\,\,\widehat {ASB} = \widehat {ASC} = {90^0};\,\,\widehat {BSC} = {60^0}\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}}\;\;khi\;\;x \ne 2\\ax + 3\;\;khi\;\;x = 2\end{array} \right..\) Xác định \(a\) để hàm số liên tục trên \(R.\)
-
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\). Gọi B là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ A. Chọn thứ tự 2 số thuộc tập hợp B. Tính xác suất để trong 2 số vừa chọn có đúng một số có mặt chữ số 3.
-
Cho hình chóp \(SABC\) có \(SA = SB = SC,\) đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a.\) Biết thể tích khối chóp \(SABC\) bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA,\;BC\) bằng:
.JPG)
-
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 5x + 6} \right)^{ - 2019}}\) là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(R\) và \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 3} \right).\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m \(\left( {m \in R} \right)\) để phương trình sau vô nghiệm với ẩn x \(\left( {x \in R} \right)\) ?\(3\sin x + 4\cos x = \left( {{m^3} - 4m + 3} \right)x + m + 5\)
-
Cho hình nón có đường cao bằng bán kính đáy và bằng 15. Diện tích xung quanh của mặt nón đã cho là:
-
Giá tri lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + 5}}{{x - 7}}\) trên đoạn \(\left[ {8;12} \right]\) là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
.JPG)
-
Giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \dfrac{{\sin x - 2\cos x - 3}}{{2\sin x + \cos x - 4}}\) là:
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm \(I\left( {1;2} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,2x + y - 5 = 0\). Biết rằng có hai điểm \({M_1},{M_2}\) thuộc \(\left( d \right)\) sao cho \(I{M_1} = I{M_2} = \sqrt {10} \). Tổng các hoành độ của \({M_1}\) và \({M_2}\) là:
-
Cho hình chóp \(SABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\;AB = a,AC = a\sqrt 3 ,\;SA \bot \left( {ABC} \right),\;SA = 2a.\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( {SBC} \right)\) bằng:
-
Cho phương trình \(m{.16^x} - 2\left( {m - 2} \right){.4^x} + m - 3 = 0.\) Tập hợp tất cả các giá trị dương của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;\;b} \right).\) Tổng \(a + 2b\) bằng:
-
Từ các chữ số \(1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\) có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(4f\left( x \right) - 5 = 0\) là:
.JPG)
-
Cho khối hai mươi mặt đều \(\left( H \right).\) Biết mỗi mặt của nó là một đa giác đều \(p\) cạnh, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng \(q\) mặt. Ta có \(\left( {p;\;q} \right)\) nhận giá trị nào sau đây?
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2019}}{{x + 1}}\) và các mệnh đề sau :(1) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\) và tiệm cân ngang là đường thẳng \(y = 1\).(2) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2019\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\).(3) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.(4) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
-
Tìm các giá trị của tham số m \(\left( {m \in R} \right)\) để phương trình \({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \left( {{m^2} + m + 2} \right)\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + {m^3} + 2m + 2 = 0\) có nghiệm thực:
-
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\left( {5;\;5} \right),\) trực tâm \(H\left( { - 1;\;13} \right),\) đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 50.\) Biết tọa độ đỉnh \(C\) là \(C\left( {a;\;b} \right)\) với \(a < 0.\) Tổng \(a + b\) bằng:
