Cho phương trình \({2^x} = \sqrt {m{{.2}^x}.cos\left( {\pi x} \right) - 4} \), với m là tham số thực. Gọi \(m_0\) là giá trị của m sao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \({m_0} \in \left[ { - 5; - 1} \right)\)

B. \({m_0} < - 5\)

C. \({m_0} \in \left[ { - 1;0} \right)\)

D. \({m_0} > 0\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Ta có: \({2^x} = \sqrt {m{{.2}^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4} \Leftrightarrow {2^{2x}} = m{.2^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4 \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + \frac{4}{{{2^x}}} \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\)

Trong phương trình \(m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\), nếu ta thay x bởi 2 - x thì phương trình trở thành:

\(m\cos \left( {2\pi - \pi x} \right) = {2^{2 - x}} + {2^x} \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\)

Suy ra x và 2 - x có vai trò như nhau trong phương trình nên nếu phương trình nhận \(x_0\) làm nghiệm thì nó cũng nhận \(2-x_0\) làm nghiệm.

Do đó để phương trình có đúng một nghiệm thực thì \({x_0} = 2 - {x_0} \Leftrightarrow {x_0} = 1\)

Với x = 1 thì \(m\cos \pi = {2^1} + {2^1} \Leftrightarrow m = - 4\)

Thử lại,

Với m = - 4 ta có: \({2^x} = \sqrt { - {{4.2}^x}.cos\left( {\pi x} \right) - 4} \,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện: \( - {4.2^x}.cos\left( {\pi x} \right) - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {2^x}cos\left( {\pi x} \right) + 1 \le 0\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {2^{2x}} = - {4.2^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4 \Leftrightarrow {2^x} = - 4\cos \left( {\pi x} \right) - {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^x} + {2^{2 - x}} = - 4\cos \left( {\pi x} \right)\)

Ta thấy: \({2^x} + {2^{2 - x}} \ge 2\sqrt {{2^x}{{.2}^{2 - x}}} = 4\) và \(\cos \left( {\pi x} \right) \ge - 1 \Rightarrow - 4\cos \left( {\pi x} \right) \le 4\)

Suy ra \({2^x} + {2^{2 - x}} = 4 = - 4\cos \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy với m = - 4 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Kiểm tra các đáp án ta thấy A thỏa mãn.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài