Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(2.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh \(AA',BB'\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(AA'\) và \(BN = \frac{1}{2}NB'.\) Đường thẳng \(CM\) cắt đường thẳng \(C'A'\) tại \(P,\) đường thẳng \(CN\) cắt đường thẳng \(C'B'\) tại \(Q.\) Tính thể tích \(V\) của khối đa diện \(A'MPB'NQ.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({V_{C.A'B'C'}} = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}\)
Suy ra \({V_{C.ABB'A'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.A'B'C'}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\)
Ta thấy \(ABNM\) là hình thang nên
\(\begin{array}{l}{S_{ABNM}} = \frac{{\left( {AM + BN} \right)d\left( {BN;AM} \right)}}{2} = \frac{{\left( {\frac{{AA'}}{2} + \frac{{BB'}}{3}} \right).d\left( {BB',AA'} \right)}}{2}\\ = \frac{{\left( {\frac{{AA'}}{2} + \frac{{AA'}}{3}} \right).d\left( {BB',AA'} \right)}}{2} = \frac{5}{{12}}AA'.d\left( {BB',AA'} \right)\end{array}\)
Mà \({S_{ABB'A'}} = AA'.d\left( {AA',BB'} \right) \Rightarrow {S_{ABNM}} = \frac{5}{{12}}.{S_{ABB'A'}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{C.ABNM}} = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {ABNM} \right)} \right).{S_{ABNM}} = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right).\frac{5}{{12}}.{S_{ABB'A'}}\\ = \frac{5}{{12}}.\frac{1}{3}d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right).{S_{ABB'A'}} = \frac{5}{{12}}.{V_{CABB'A'}}.\end{array}\)
Mà \({V_{C.ABB'A'}} = \frac{4}{3}\left( {cmt} \right) \Rightarrow {V_{C.ABNM}} = \frac{5}{{12}}.\frac{4}{3} = \frac{5}{9}.\)
Suy ra \({V_{CC'B'NMA'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABNM}} = 2 - \frac{5}{9} = \frac{{13}}{9}.\)
Ta có \(A'M//CC' \Rightarrow \frac{{PA'}}{{PC'}} = \frac{{A'M}}{{CC'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow PA' = \frac{1}{2}PC' = A'C' \Rightarrow PC' = 2A'C'\)
Và \(B'N//CC' \Rightarrow \frac{{B'N}}{{CC'}} = \frac{{QB'}}{{QC'}} = \frac{2}{3} \Rightarrow QC' = 3B'C'\)
Mà \({S_{A'B'C'}} = \frac{1}{2}C'A'.C'B'\sin C'\)
\( \Rightarrow {S_{C'PQ}} = \frac{1}{2}C'P.C'Q.\sin C' = \frac{1}{2}.2.A'C'.3B'C'\sin C = 6.\left( {\frac{1}{2}A'C'.B'C'\sin C} \right) = 6{S_{A'B'C'}}\)
Ta có: \({V_{C.C'PQ}} = \frac{1}{3}d\left( {C;\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{C'PQ}} = \frac{1}{3}d\left( {C;\left( {A'B'C'} \right)} \right).6{S_{C'A'B'}} = 6.{V_{C.A'B'C'}} = 6.\frac{2}{3} = 4.\)
Từ đó \({V_{A'MPB'NQ}} = {V_{C.C'PQ}} - {V_{CC'B'NMA'}} = 4 - \frac{{13}}{9} = \frac{{23}}{9}\).
Chọn B.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Phan Bội Châu