Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) sao cho đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) và \(AB \le 4\)?

A. \(1\)

B. \(6\)

C. \(2\)

D. \(7\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow 2x - 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + m} \right) \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số tại \(2\) điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right) = {m^2} - 6m - 3 > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} + \left( {m - 1} \right).\left( { - 1} \right) + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 3 \\m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\\3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 3 \\m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\).

Gọi tọa độ giao điểm \(A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\) với \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của \(\left( 1 \right)\).

Khi đó \(A{B^2} = 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \Rightarrow AB \le 4 \Leftrightarrow A{B^2} \le 16 \Leftrightarrow 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \le 16\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \le 8 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 8\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right) \le 8 \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 3 - 8 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 11 \le 0 \Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 5 \le m \le 3 + 2\sqrt 5 \end{array}\)

Kết hợp với \(\left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 3 \\m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\) ta được \(\left[ \begin{array}{l}3 + 2\sqrt 3 < m \le 3 + 2\sqrt 5 \\3 - 2\sqrt 5 \le m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\).

Mà \(m\) nguyên dương nên \(m = 7\).

Vậy chỉ có duy nhất \(1\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài