Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng$\left( {ABC} \right)$và $AB = 2,AC = 4,SA = \sqrt 5$. Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp $S.ABC$ có bán kính là 

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $a$. Tính diện tích xung quanh $S$ của khối trụ đó.

Cho lăng trụ tam giác đều, có độ dài tất cả các cạnh bằng $2$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đó. 

Cho hai số thực $a,b$ với $a > 0,a \ne 1,b \ne 0$. Khẳng định nào sau đây sai? 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$. $SO$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $SO = a\sqrt 2$. Tính khoảng cách $d$ giữa $SC$ và $AB$. 

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\log _2^2x + {\log _2}x - m = 0$ có nghiệm $x \in \left( {0;1} \right)$. 

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $2.$ Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh $AA',BB'$ sao cho $M$ là trung điểm của $AA'$ và $BN = \frac{1}{2}NB'.$ Đường thẳng $CM$ cắt đường thẳng $C'A'$ tại $P,$ đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng $C'B'$ tại $Q.$ Tính thể tích $V$ của khối đa diện $A'MPB'NQ.$

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \sqrt {4 - {x^2}}$. Tính $M - m$. 

Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Cho $a$ là số thực dương khác $5$. Tính $I = {\log _{\frac{a}{5}}}\left( {\dfrac{{{a^3}}}{{125}}} \right)$. 

Cho tập hợp $X$ gồm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau có dạng $\overline {abcdef}$ . Từ tập $X$ lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số lấy ra là số lẻ và thõa mãn $a < b < c < d < e < f.$ 

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^3} - 3{x^2} + 2 - m = 0$ có ba nghiệm phân biệt. 

Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}$ . 

Cho biểu thức $P = {2^x}{.2^y}\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng? 

Cho $a > 0$, $b > 0$, giá trị của biểu thức $T = 2{\left( {a + b} \right)^{ - 1}}.{\left( {ab} \right)^{\frac{1}{2}}}.{\left[ {1 + \dfrac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\dfrac{a}{b}}  - \sqrt {\dfrac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$ bằng 

Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ và $AB \le 4$? 

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\left( {m + 3} \right){9^x} + \left( {2m - 1} \right){3^x} + m + 1 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

Một mặt cầu có đường kính bằng $a$ có diện tích $S$ bằng bao nhiêu? 

Đặt $a = {\log _7}11,b = {\log _2}7.$ Hãy biểu diễn ${\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8}$ theo $a$ và $b.$ 

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $a\sqrt 2$. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng, song song với trụ của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng $\frac{a}{2}$ ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích $V$ của khối trụ đã cho.