Cho khối tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\;AC,\;AD\) đôi một vuông góc với nhau và \(AB = a,\;AC = 2a,\;AD = 3a.\) Các điểm \(M,\;N,\;P\) thứ tự thuộc các cạnh \(AB,\;AC,\;AD\) sao cho \(2AM = MB,\;AN = 2NC,\;AP = PD.\) Tính thể tích khối tứ diện \(AMNP.\) 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình \(f\left( x \right) = 4\) có bao nhiêu nghiệm thực ?

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 4m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)?\)

Số nghiệm của phương trình \(3{\log _3}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{3}}}{\left( {x - 5} \right)^3} = 3\) là:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m,\;m \ge  - 2019\) để phương trình \({x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3} + 1 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt?

Cho hai phương trình \({x^2} + 7x + 3 - \ln \left( {x + 4} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} - 11x + 21 - \ln \left( {6 - x} \right) = 0\,\,\left( 2 \right)\). Đặt T là tổng các nghiệm phân biệt của hai phương trình đã cho, ta có

Cho phương trình: \(3{\log _{27}}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right) = 0\). Số các giá trị nguyên của m sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < 15\) là:

Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC = a,\,\,\widehat {ASB} = \widehat {ASC} = {90^0};\,\,\widehat {BSC} = {60^0}\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp. 

Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a.\) Khoảng cách từ điểm \(A'\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) bằng \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {19} }}.\) Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m \(\left( {m \in R} \right)\) để phương trình sau vô nghiệm với ẩn x \(\left( {x \in R} \right)\) ?\(3\sin x + 4\cos x = \left( {{m^3} - 4m + 3} \right)x + m + 5\) 

Đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\) là: 

Giá tri lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + 5}}{{x - 7}}\) trên đoạn \(\left[ {8;12} \right]\) là:

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có \(AB = a,\,\,AD = 2a,\,\,AA' = 3a\). Tính thể tích V của khối tứ diện BA’C’D’. 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(4f\left( x \right) - 5 = 0\) là:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {2m + 1} \right){x^2} + 7\) có ba điểm cực trị?

Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC} \) cùng điểm đặt M , cùng tác động vào một vật và vật đó đứng yên (như hình vẽ). Biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 30N và \(\widehat {AMB} = {60^0}\). Tính cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) là:

Cho khối hai mươi mặt đều \(\left( H \right).\) Biết mỗi mặt của nó là một đa giác đều \(p\) cạnh, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng \(q\) mặt. Ta có \(\left( {p;\;q} \right)\) nhận giá trị nào sau đây?

Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {2x + 4}  - 2\sqrt {2 - x}  \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\) là \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó giá trị của biểu thức \(P = 3a - 2b\) bằng:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(R\)  và \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 3} \right).\)  Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

Cho hình nón có đường cao bằng bán kính đáy và bằng 15. Diện tích xung quanh của mặt nón đã cho là: