Cho \(I = \int\limits_3^8 {\frac{1}{{x + x\sqrt {x + 1} }}} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\ln \frac{a}{b} + \frac{c}{d}\) với a,b,c,d là các số nguyên dương và \(\frac{a}{b},\,\frac{c}{d}\) tối giản. Giá trị của abc - d bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2t{\rm{d}}t = {\rm{d}}x\).
Khi \(x = 3 \Rightarrow t = 2\); Khi \(x = 8 \Rightarrow t = 3\).
Khi đó
\(\begin{array}{l} I = \int\limits_2^3 {\frac{1}{{{t^2} - 1 + \left( {{t^2} - 1} \right)t}}.2t} {\rm{d}}t = \int\limits_2^3 {\frac{{2t}}{{\left( {{t^2} - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} {\rm{d}}t = \int\limits_2^3 {\frac{{2t}}{{\left( {t - 1} \right){{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} {\rm{d}}t\\ = \int\limits_2^3 {\frac{{\left( {t + 1} \right) + \left( {t - 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right){{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} {\rm{d}}t = \int\limits_2^3 {\left( {\frac{{\left( {t + 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right){{\left( {t + 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {t - 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right){{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} \right)} {\rm{d}}t\\ = \int\limits_2^3 {\left( {\frac{1}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}} + \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} \right)} {\rm{d}}t = \int\limits_2^3 {\left( {\frac{1}{2}.\frac{{\left( {t + 1} \right) - \left( {t - 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}} + \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} \right)} {\rm{d}}t\\ = \int\limits_2^3 {\left[ {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right) + \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} \right]} {\rm{d}}t = \left. {\left[ {\frac{1}{2}\left( {\ln \left| {t - 1} \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} \right) - \frac{1}{{t + 1}}} \right]} \right|_2^3\\ = \left. {\left[ {\frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right| - \frac{1}{{t + 1}}} \right]} \right|_2^3 = \frac{1}{2}\ln \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \left( {\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3} - \frac{1}{3}} \right)\\ = \frac{1}{2}\ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln \frac{3}{2} + \frac{1}{{12}} \end{array}\)
⇒ a = 3, b = 2, c = 1, d = 12
Vậy abc - d = 3.2.1 - 12 = - 6.
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số \(y = {\log _2}\left( {2x - 3} \right)\) có tập xác định là
-
Cho \(0 \le x \le 2021\) và \({\log _2}(2x + 2) + x - 3y = {8^y}\). Có bao nhiêu cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ?
-
Trong không gian, cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính thể tích khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh một đường cao của nó.
-
Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA = BC = 3; SB = AC = 4; \(SC = AB = 2\sqrt 5 \). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Với a, b là hai số dương tùy ý thì \(\log \left( {{a^3}{b^2}} \right)\) có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B cạnh AB = a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tính cosin của góc \(\alpha\) là góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SBC).
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x.
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 9;\int\limits_2^4 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 4\). Tính \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-3;2] sao cho \(M \le 2\,m?\)
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \(f'(x) = x{(x - 1)^2}(2x + 3)\). Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Có 8 học sinh nam, 5 học sinh nữ và 1 thầy giáo được sắp xếp ngẫu nhiên đứng thành một vòng tròn. Tính xác suất để thầy giáo đứng giữa 2 học sinh nam.
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD'.
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left[ {f\left( x \right) + m} \right] = 0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt.
.PNG)
-
Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-3;1;2), B(1;-1;0) là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
.PNG)
Số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0\) là
-
Cho số phức z = 1 + 2i. Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức \(w = 2z + \overline z \).
-
Cho \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} } {\rm{d}}x\) và \(u = {x^2} - 1\). Mệnh đề nào dưới đây sai ?
-
Cho hàm số y = f(x) xác định trên R \ {1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
.PNG)
-
Trong không gian Oxyz mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{ - y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\) có phương trình là:
