Cho hai số thực a, b thỏa mãn \({a^2} + {b^2} > 1\) và \({\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {a + b} \right) \ge 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2a + 4b - 3 là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \({a^2} + {b^2} > 1\) nên từ \({\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {a + b} \right) \ge 1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}a + b \ge {a^2} + {b^2} > 1\).
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} > 1\\ {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} \le {\rm{ }}\frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Khi đó: \(P = 2a + 4b - 3 = 2\left( {a - \frac{1}{2}} \right) + 4\left( {b - \frac{1}{2}} \right) \le \sqrt {\left( {{2^2} + {4^2}} \right).\left[ {{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {b - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]{\rm{ }}} \le \sqrt {20.\left( {\frac{1}{2}} \right)} = \sqrt {10} \)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{a - \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{b - \frac{1}{2}}}{4} > 0\\ {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} = {\rm{ }}\frac{1}{2}\\ \\ {a^2} + {b^2} > 1 \end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\ b = \frac{1}{2} + \frac{2}{{\sqrt {10} }} \end{array} \right.\)
Vậy \({P_{{\rm{max}}}} = \sqrt {10} \) khi \(\left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\ b = \frac{1}{2} + \frac{2}{{\sqrt {10} }} \end{array} \right.\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức z = - 1 + 2i. Số phức \(\overline z \) được biểu diễn bởi điểm nào dưới đây trên mặt phẳng tọa độ?
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \(f'(x) = x{(x - 1)^2}(2x + 3)\). Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Trong không gian Oxyz cho điểm A(-2;1;3). Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox có tọa độ là:
-
Cho \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} } {\rm{d}}x\) và \(u = {x^2} - 1\). Mệnh đề nào dưới đây sai ?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - z + 1 = 0.Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
-
Cho hai số phức \({z_1} = 1 + i\) và \({z_2} = 1 - i\). Giá trị của biểu thức \({\bar z_1} + i{z_2}\) bằng
-
Có 8 học sinh nam, 5 học sinh nữ và 1 thầy giáo được sắp xếp ngẫu nhiên đứng thành một vòng tròn. Tính xác suất để thầy giáo đứng giữa 2 học sinh nam.
-
Cho số phức z = 1 - 2i. Tìm phần ảo của số phức \(\overline z \).
-
Thể tích khối cầu có bán kính 6cm bằng
-
Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
.png)
-
Với a, b là hai số dương tùy ý thì \(\log \left( {{a^3}{b^2}} \right)\) có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?
-
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\).
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 9;\int\limits_2^4 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 4\). Tính \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\)?
-
Cho hàm số y= f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị cực đại của hàm số.
.png)
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3\) có bán kính bằng
-
Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} + 6z + 34 = 0\). Tính \(\left| {{z_0} + 2 - i} \right|\)?
-
Trong không gian, cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính thể tích khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh một đường cao của nó.
-
Cho \(I = \int\limits_3^8 {\frac{1}{{x + x\sqrt {x + 1} }}} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\ln \frac{a}{b} + \frac{c}{d}\) với a,b,c,d là các số nguyên dương và \(\frac{a}{b},\,\frac{c}{d}\) tối giản. Giá trị của abc - d bằng
-
Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 2018{\rm{ ; 2019}}} \right]\) để hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} - \left( {2m - 5} \right)x + 5\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0{\rm{ ; + }}\infty } \right)\)?
-
Cho số phức z = 1 + 2i. Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức \(w = 2z + \overline z \).
