Cho hai số thực a, b thỏa mãn \({a^2} + {b^2} > 1\) và \({\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {a + b} \right) \ge 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2a + 4b - 3 là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \({a^2} + {b^2} > 1\) nên từ \({\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {a + b} \right) \ge 1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}a + b \ge {a^2} + {b^2} > 1\).
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} > 1\\ {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} \le {\rm{ }}\frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Khi đó: \(P = 2a + 4b - 3 = 2\left( {a - \frac{1}{2}} \right) + 4\left( {b - \frac{1}{2}} \right) \le \sqrt {\left( {{2^2} + {4^2}} \right).\left[ {{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {b - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]{\rm{ }}} \le \sqrt {20.\left( {\frac{1}{2}} \right)} = \sqrt {10} \)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{a - \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{b - \frac{1}{2}}}{4} > 0\\ {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} = {\rm{ }}\frac{1}{2}\\ \\ {a^2} + {b^2} > 1 \end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\ b = \frac{1}{2} + \frac{2}{{\sqrt {10} }} \end{array} \right.\)
Vậy \({P_{{\rm{max}}}} = \sqrt {10} \) khi \(\left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\ b = \frac{1}{2} + \frac{2}{{\sqrt {10} }} \end{array} \right.\).
Câu hỏi liên quan
-
Bất phương trình \({3^{2x + 1}} - {7.3^x} + 2 > 0\) có nghiệm là
-
Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, độ dài hai cạnh góc vuông là 3a, 4a và chiều cao khối lăng trụ là 6a. Thể tích của khối lăng trụ bằng
-
Cho số phức z = - 1 + 2i. Số phức \(\overline z \) được biểu diễn bởi điểm nào dưới đây trên mặt phẳng tọa độ?
-
Cho hàm số y = f(x) xác định trên R \ {1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
.PNG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{4}\)
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d.
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B cạnh AB = a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tính cosin của góc \(\alpha\) là góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SBC).
-
Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng bán kính đáy và thể tích của khối trụ đó là \(8 \pi\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-3;2] sao cho \(M \le 2\,m?\)
-
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và \(SA \bot (ABCD)\) có thể tích bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - z + 1 = 0.Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
-
Cho \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} } {\rm{d}}x\) và \(u = {x^2} - 1\). Mệnh đề nào dưới đây sai ?
-
Trong không gian, cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính thể tích khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh một đường cao của nó.
-
Với a, b là hai số dương tùy ý thì \(\log \left( {{a^3}{b^2}} \right)\) có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thẳng x = -1; x = 2 là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng
-
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 10 và diện tích xung quanh bằng \(60\pi \). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
Cho số phức z = 1 - 2i. Tìm phần ảo của số phức \(\overline z \).
-
Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
.png)
-
Cho \(I = \int\limits_3^8 {\frac{1}{{x + x\sqrt {x + 1} }}} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\ln \frac{a}{b} + \frac{c}{d}\) với a,b,c,d là các số nguyên dương và \(\frac{a}{b},\,\frac{c}{d}\) tối giản. Giá trị của abc - d bằng
-
Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-3;1;2), B(1;-1;0) là
