Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại \(A,AB=a,AC=a\sqrt{2}.\) Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( AB'C' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\) và hình chiếu của A lên \(\left( A'B'C' \right)\) là trung điểm H của đoạn thẳng A'B'. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A.HB'C' theo a.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm B'C' và N là hình chiếu của H trên B'C'. Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l} B'C' \bot HN\\ B'C' \bot AH \end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {AHN} \right) \Rightarrow B'C' \bot AN.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\ B'C' \bot HN\\ B'C' \bot AN \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left( \left( A'B'C' \right),\left( AB'C' \right) \right)=\widehat{ANH}={{60}^{0}}\)
Ta có \(B'C'=\sqrt{A'B{{'}^{2}}+A'C{{'}^{2}}}=a\sqrt{3}\)
\(\frac{1}{H{{N}^{2}}}=\frac{1}{H{{B}^{2}}}+\frac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow HN=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ và \(AH=HN.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O các điểm B',M,A lần lượt thuộc các tia Ox,Oy,Oz.
Ta có \(H\left( 0;0;0 \right),B'\left( \frac{a}{2};0;0 \right),A\left( 0;0;\frac{a\sqrt{2}}{2} \right),C'\left( -\frac{a}{2};a\sqrt{2};0 \right).\)
Gọi \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2Ax-2By-2Cz+D=0\) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB'C'. Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l} D = 0\\ 2A\frac{a}{2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}\\ 2C.a\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ 2A.\left( { - \frac{a}{2}} \right) + 2B.a\sqrt 2 = {\left( { - \frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{a}{4}\\ B = \frac{5}{{4\sqrt 2 }}\\ C = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\\ D = 0 \end{array} \right.\)
\(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} = \frac{{a\sqrt {62} }}{8}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lê Thị Riêng lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính 50 cm. Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh, phần còn lại là một khối trụ có đường kính 45 cm. Chiều dài phần trải ra gần với số nào nhất trong các số sau? (chiều dài tính bằng đơn vị mét).
-
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
-
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=z-3.\) Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d?
-
Tính nguyên hàm \(A=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{1}{x\ln x}dx}\) bằng cách đặt t=ln x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho tập hợp A gồm 12 phần tử. Số tập con gồm 4 phần tử của tập hợp A là
-
Tích phân \(\int\limits_{0}^{2}{\frac{a}{ax+3a}dx},\left( a>0 \right)\) bằng
-
Cho số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z \right|=5\) và \(z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)\) là một số thực. Tính \(P=\left| a \right|+\left| b \right|\).
-
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
.png)
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x\) là
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( Oxz \right)\) có phương trình là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right).\)
.jpg.png)
-
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình \({{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-x-m \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x+2 \right)\) có nghiệm.
-
Tìm nghiệm của phương trình \({{3}^{x-1}}=27.\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z+9=0.\)
Tìm tọa độ tâm I và độ dài bán kính R của mặt cầu.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;-2;3 \right)\) và \(B\left( 3;1;1 \right).\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-4z=0.\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(A\left( 3;4;3 \right).\)
-
Đồ thị bên dưới đây là của hàm số nào?
.jpg.png)
-
Cho đẳng thức \(\frac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}\sqrt{a}}}{{{a}^{3}}}={{a}^{\alpha }},0<a\ne 1.\) Khi đó \(\alpha \) thuộc khoảng nào?
