Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại \(A,AB=a,AC=a\sqrt{2}.\) Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( AB'C' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\) và hình chiếu của A lên \(\left( A'B'C' \right)\) là trung điểm H của đoạn thẳng A'B'. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A.HB'C' theo a.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm B'C' và N là hình chiếu của H trên B'C'. Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l} B'C' \bot HN\\ B'C' \bot AH \end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {AHN} \right) \Rightarrow B'C' \bot AN.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\ B'C' \bot HN\\ B'C' \bot AN \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left( \left( A'B'C' \right),\left( AB'C' \right) \right)=\widehat{ANH}={{60}^{0}}\)
Ta có \(B'C'=\sqrt{A'B{{'}^{2}}+A'C{{'}^{2}}}=a\sqrt{3}\)
\(\frac{1}{H{{N}^{2}}}=\frac{1}{H{{B}^{2}}}+\frac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow HN=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ và \(AH=HN.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O các điểm B',M,A lần lượt thuộc các tia Ox,Oy,Oz.
Ta có \(H\left( 0;0;0 \right),B'\left( \frac{a}{2};0;0 \right),A\left( 0;0;\frac{a\sqrt{2}}{2} \right),C'\left( -\frac{a}{2};a\sqrt{2};0 \right).\)
Gọi \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2Ax-2By-2Cz+D=0\) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB'C'. Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l} D = 0\\ 2A\frac{a}{2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}\\ 2C.a\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ 2A.\left( { - \frac{a}{2}} \right) + 2B.a\sqrt 2 = {\left( { - \frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{a}{4}\\ B = \frac{5}{{4\sqrt 2 }}\\ C = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\\ D = 0 \end{array} \right.\)
\(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} = \frac{{a\sqrt {62} }}{8}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lê Thị Riêng lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,{{z}_{2}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i.\) Gọi z là số phức thỏa mãn \(\left| 3z-\sqrt{3}i \right|=\sqrt{3}.\) Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(T=\left| z \right|+\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|\). Tính mô-đun của số phức \(\text{w}=M+mi.\)
-
Có bao nhiêu số thực a để \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{a+{{x}^{2}}}dx}=1?\)
-
Tìm nghiệm của phương trình \({{3}^{x-1}}=27.\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai?
.jpg.png)
-
Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất một lần. Tính xác suất để xuất hiện mặt chẵn.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right).\)
.jpg.png)
-
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình \({{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-x-m \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x+2 \right)\) có nghiệm.
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( -2;1 \right).\) Hỏi điểm M là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;-2;3 \right)\) và \(B\left( 3;1;1 \right).\)
-
Cho đẳng thức \(\frac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}\sqrt{a}}}{{{a}^{3}}}={{a}^{\alpha }},0<a\ne 1.\) Khi đó \(\alpha \) thuộc khoảng nào?
-
Tích phân \(\int\limits_{0}^{2}{\frac{a}{ax+3a}dx},\left( a>0 \right)\) bằng
-
Tính nguyên hàm \(A=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{1}{x\ln x}dx}\) bằng cách đặt t=ln x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{2x+1}{1-x}\) trên đoạn \(\left[ 2;3 \right]\) là:
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( Oxz \right)\) có phương trình là
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x\) là
-
Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là
-
Nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}\left( 3x-8 \right)=2\) là
-
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{6}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9.\) Biết đường thẳng d cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo dây cung AB. Độ dài AB là
-
Thể tích của khối chóp có diện tích mặt đáy bằng B, chiều cao bằng h được tính bởi công thức
-
Cho số phức \(z=2-3i.\) Số phức liên hợp của \(z\) là
