Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a,\,AA' = \frac{{3a}}{2}.\) Biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đó theo \(a.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDiện tích tam giác đều \(ABC:\;{S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)
Ta có: \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
\( \Rightarrow A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}} = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) (định lý Py-ta-go).
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8} = \frac{{{a^3}}}{{4\sqrt 2 }}.\)
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Lê Quảng Chí